解放軍文職招聘考試朱世杰及元代數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育

發(fā)布時(shí)間:2017-11-22 19:29:09朱世杰及元代數(shù)學(xué)一、元初數(shù)學(xué)成就1.王恂的數(shù)學(xué)工作王恂(1235 1281),元代數(shù)學(xué)家.字敬甫,唐縣(今屬河北)人.他 六歲就學(xué),十三歲學(xué)九數(shù),輒造其極 .后從劉秉忠學(xué),官至太史令.至元十七年(1280)與天文學(xué)家郭守敬(1231 1316)等共同編成《授時(shí)歷》,其中的數(shù)學(xué)工作主要是王恂作的.唐代張遂制訂歷法時(shí),假定太陽(yáng)作勻加速運(yùn)動(dòng),所以使用二次內(nèi)插法.但實(shí)際上,太陽(yáng)運(yùn)行的加速度是不斷變化的.在《授時(shí)歷》中,王恂把太陽(yáng)、月亮及五星的視行度當(dāng)作時(shí)間的三次函數(shù),采用三次內(nèi)插法來(lái)求函數(shù)值,收到更好效果.但確定天體位置需要使用赤道坐標(biāo)和黃道坐標(biāo),王恂之前是直接通過(guò)天文觀測(cè)來(lái)確定這兩種坐標(biāo)的.王恂首先注意到兩種坐標(biāo)的數(shù)學(xué)關(guān)系,提出如下問(wèn)題:已知太陽(yáng)的 黃道積度 ,求 赤道積度 和 赤道內(nèi)外度 .如圖8.16,設(shè)A為春分點(diǎn),D為夏至點(diǎn),其中d為直徑,BN OC,CP OE.只要測(cè)得黃道坐標(biāo),便可利用上述公式及其他有關(guān)知識(shí)推出相應(yīng)的赤道坐標(biāo),從而使人們經(jīng)過(guò)較少的實(shí)測(cè),得到較多的結(jié)果.2.趙友欽的割圓術(shù)趙友欽,元代天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家.字子公,號(hào)緣督先生,鄱陽(yáng)(今江西鄱陽(yáng))人,生卒年不詳.所著《革象新書(shū)》是一部天文數(shù)學(xué)著作.作圓內(nèi)接正方形,然后不斷倍增邊數(shù),依次求得各內(nèi)接正多邊形邊長(zhǎng)(圖8.17). 置第十二次之小弦以第十二次之曲數(shù)一萬(wàn)六千三百八十四乘之,得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇,即是千寸徑之周?chē)玻苈式浦抵凶顪?zhǔn)確的一個(gè).趙友欽說(shuō): 自一、二次求之以至一十二次,可謂極其精密.若節(jié)節(jié)求之,雖至千萬(wàn)次,其數(shù)終不窮. 可見(jiàn)他不僅認(rèn)識(shí)到圓內(nèi)接正多邊形的極限位置是圓,而且認(rèn)識(shí)到極限是一個(gè)不可窮盡的過(guò)程,這種思想與現(xiàn)代極限觀念相當(dāng)接近.趙友欽還進(jìn)一步揭示了方、圓關(guān)系,說(shuō): 要之方為數(shù)之始,圓為數(shù)之終.圓始于方,方終于圓. 這種 曲直互通 的思想是很深刻的,他已認(rèn)識(shí)到方可轉(zhuǎn)化為圓,而轉(zhuǎn)化的條件便是取極限.二、朱世杰生平朱世杰,元代數(shù)學(xué)家.字漢卿,號(hào)松庭,燕山(今北京附近)人,生卒年不詳.元統(tǒng)一中國(guó)后,朱世杰曾以數(shù)學(xué)家的身份周游各地二十余年,向他求學(xué)的人很多,他到廣陵(今揚(yáng)州)時(shí) 踵門(mén)而學(xué)者云集 .朱世杰全面繼承前人的數(shù)學(xué)成果,他吸收了高次方程的數(shù)值解法,又吸收了北方的天元術(shù)及南方的各種日用算法、數(shù)學(xué)口訣等,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)造性研究,寫(xiě)成以總結(jié)和普及當(dāng)時(shí)各方面數(shù)學(xué)知識(shí)為宗旨的《算學(xué)啟蒙》(三卷)和四元術(shù)的代表作《四元玉鑒》(三卷),先后于1299年和1303年刊印.朱世杰是元代最杰出的數(shù)學(xué)家,清羅士琳(1774 1853)說(shuō)他 兼包眾有,充類盡量,神而明之尤超越乎秦(九韶)李(冶)之上. 《四元玉鑒》的成書(shū)則標(biāo)志著宋元數(shù)學(xué)達(dá)到最高峰.美國(guó)科學(xué)史家薩頓(G.Sarton)稱贊該書(shū) 是中國(guó)數(shù)學(xué)著作中最重要的一部,也是中世紀(jì)的杰出數(shù)學(xué)著作之一.三、《算學(xué)啟蒙》《算學(xué)啟蒙》的內(nèi)容由淺入深,次第謹(jǐn)嚴(yán),從一位數(shù)乘法開(kāi)始,一直講到當(dāng)時(shí)的最新數(shù)學(xué)成果 天元術(shù),形成一個(gè)完整體系,內(nèi)容包括多位數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、面積和體積計(jì)算、比例問(wèn)題、垛積術(shù)、盈不足術(shù)、線性方程組、高次方程解法等.尤其引人注目的是,卷首 總括 中給出一整套數(shù)學(xué)概念及運(yùn)算法則,作為全書(shū)的理論基礎(chǔ).其中包括正負(fù)數(shù)乘法法則及倒數(shù)概念.朱世杰明確指出: 同名(號(hào))相乘為正,異名相乘為負(fù). 又指出: 平除長(zhǎng)為小長(zhǎng),長(zhǎng)除平為小平. 小長(zhǎng)平相乘得一步為小積. 這便給出倒數(shù)的基本性質(zhì)在《算學(xué)啟蒙》中,朱世杰借助輔助未知數(shù)解線性方程組,這在數(shù)學(xué)史上還是首次.例如卷下 方程正負(fù)門(mén) 第五題,依術(shù)列方程組如下(改用現(xiàn)代符號(hào)):這種方法對(duì)于簡(jiǎn)化運(yùn)算程序是很有意義的,系數(shù)越復(fù)雜,設(shè)輔助未知數(shù)的方法就越有用.另外,書(shū)中把天元術(shù)廣泛用于各種面積和體積問(wèn)題,導(dǎo)出許多高次方程,這說(shuō)明天元術(shù)在李冶的基礎(chǔ)上有了進(jìn)一步的發(fā)展.朱世杰還致力于算法研究,給出一些新的公式,如 開(kāi)方釋鎖門(mén) 給出根式運(yùn)算法則其中n,a,b為自然數(shù),n 2.《算學(xué)啟蒙》為《四元玉鑒》提供了必要的預(yù)備知識(shí),正如羅士琳所說(shuō),該書(shū) 似淺實(shí)深 ,與《四元玉鑒》 相為表里 .四、《四元玉鑒》《四元玉鑒》的主要成就是四元術(shù),即四元高次方程組的建立和求解方法.在他之前,已有李德載《兩儀群英集臻》討論二元術(shù),劉大鑒《乾坤括囊》討論三元術(shù).在此基礎(chǔ)上,朱世杰 演數(shù)有年,探三才之賾,索九章之隱,按天、地、人、物立成四元 (《四元玉鑒》后序),創(chuàng)立了舉世聞名的四元術(shù).朱世杰的天、地、人、物,相當(dāng)于現(xiàn)在的x,y,z,u,其擺法如圖8 .18,例如方程-x2+3xy-2xz+x-y-z=0(卷下 三才變通 第1題)及2u4-u3-u2+3u-8z2+2xz+2xy+6yz=0(卷下 四象朝元 第6題)分別擺成圖8.19和圖8.20的形狀.《四元玉鑒》共24門(mén)288問(wèn),所有問(wèn)題都與方程或方程組有關(guān).題目順序大體是先方程后方程組,先線性方程組后高次方程組.朱世杰創(chuàng)造了一套完整的消未知數(shù)方法,稱為四元消法.這種方法在世界上長(zhǎng)期處于領(lǐng)先地位,直到18世紀(jì),法國(guó)數(shù)學(xué)家貝祖(E.Bezoub,1730 1783)提出一般的高次方程組解法,才超過(guò)朱世杰.但朱世杰的消法要點(diǎn)僅見(jiàn)于書(shū)首 假令四草 ,其他各題均無(wú)草.書(shū)首還列有 今古開(kāi)方會(huì)要之圖 、 四元自乘演段之圖 、 五和自乘演段之圖 和 五較自乘演段之圖 ,這些圖的作用也是統(tǒng)御全書(shū).朱世杰說(shuō): 凡習(xí)四元者,以明理為務(wù).必達(dá)乘除、升降、進(jìn)退之理,乃盡性窮神之學(xué)也. 卷首各圖便是為 明理 而作,他說(shuō): 夫算中玄妙,無(wú)過(guò)演段.如積幽微,莫越認(rèn)圖.其法奧妙,學(xué)者鮮能造其微.前明五和,次辨五較,自知優(yōu)劣也.《四元玉鑒》表明,朱世杰在方程領(lǐng)域取得重要成就.以前的方程都是有理方程,朱世杰則突破有理式的限制,開(kāi)始討論無(wú)理方程.他不化為有理方程(見(jiàn) 左右逢源 第21題, 撥換截田 第18題, 四象朝元 第1題).四元消法是朱世杰方程理論的核心.他通過(guò)方程組中不同方程的配合,依次消掉未知數(shù),化四元式為一元式,即一元高次方程.三元式和四元式的消法稱為 剔而消之 ,即把全式剔分為二,進(jìn)行相消.二元式的消法稱為 互隱通分相消 .下面以二元三行式為例說(shuō)明其消法.其中各系數(shù)是關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的多項(xiàng)式(可以是常數(shù)).欲消x2項(xiàng),先以B2乘(1)式中x2項(xiàng)以外各項(xiàng),再以A2乘(2)式中x2項(xiàng)以外各項(xiàng),相減,得C1x+C0=0. (3)以x乘(3),得C1x2+C0x=0. (4)將(4)與(1)或(2)聯(lián)立,用同樣方法消去x2項(xiàng),得D1x+D0=0. (5)(3)與(5)聯(lián)立,便為二元二行式.朱世杰稱C1,D0為外二行,C0,D1為內(nèi)二行.內(nèi)二行乘積與外二行乘積相減,得C1D0-C0D1=0.這便消去x,得到只含另一個(gè)未知數(shù)的一元方程了.《四元玉鑒》含二元問(wèn)題36個(gè),三元問(wèn)題13個(gè),四元問(wèn)題7個(gè).雖然用到四元術(shù)的題目不多,但它們卻代表了全書(shū),也代表了當(dāng)時(shí)世界范圍內(nèi)方程組理論的最高水平. 四象朝元 第6題所導(dǎo)出的十四次方程是中國(guó)古算史上次數(shù)最高的方程.高階等差級(jí)數(shù)理論是書(shū)中另一成就.沈括的隙積術(shù)開(kāi)了研究高階等差級(jí)數(shù)的先河,楊輝給出包括隙積術(shù)在內(nèi)的一系列二階等差級(jí)數(shù)求和公式.朱世杰在這一領(lǐng)域作了總結(jié)性工作.在中卷 茭草形段 和下卷 果垛疊藏 中,他依次研究了一階至五階等差級(jí)數(shù)求和問(wèn)題,不僅給出相應(yīng)的公式,而且發(fā)現(xiàn)其規(guī)律,掌握了如下的三角垛統(tǒng)一公式從而奠定了垛積術(shù)的理論基礎(chǔ).實(shí)際上,等差級(jí)數(shù)是幾階的,便可把上式中的p換為幾.朱世杰給出了p=1,2, ,5的特例.他還發(fā)現(xiàn)垛積術(shù)與內(nèi)插法的內(nèi)在聯(lián)系,在 如象招數(shù) 第5題中利用垛積術(shù)導(dǎo)出四次內(nèi)插公式(四次差為一非零常數(shù),五次差為零):其中 1, 2, 3, 4分別為一次差、二次差、三次差、四次差.由于朱世杰正確指出了公式中各項(xiàng)系數(shù)恰好是一系列三角垛的積,他顯然能夠解決更高次的內(nèi)插問(wèn)題,從而把中國(guó)古代的內(nèi)插法推向一個(gè)新水平.在幾何方面,朱世杰也有一定的貢獻(xiàn).自《九章算術(shù)》以來(lái),中國(guó)就有了平面幾何與立體幾何,但一直到北宋,幾何研究離不開(kāi)勾股和面積、體積.李冶開(kāi)始注意到圓城圖式中各元素的關(guān)系,得到一些定理,但未能推廣到更一般的情形.朱世杰在李冶思想的基礎(chǔ)上,深入研究了勾股形內(nèi)及圓內(nèi)各幾何元素的數(shù)量關(guān)系,發(fā)現(xiàn)了平面幾何中的射影定理和特殊情形的弦冪定理.例如卷上 混積問(wèn)元 第七題,如圖8.21,朱世杰得到公式易證等號(hào)左面等于h2,所以此式與射影定理h2=ef等價(jià).再如卷中 撥換截田 第十四題,如圖8.22,AB CD于E,朱世杰給出公式4CE ED=AB2此式顯然是弦冪定理CE ED=AE EB在兩弦垂直且有一弦為直徑時(shí)的特殊情形.五、宋元數(shù)學(xué)的外傳及衰落《算學(xué)啟蒙》出版后不久即傳到朝鮮和日本.在朝鮮李朝時(shí)期(14 16世紀(jì)),《算學(xué)啟蒙》及《楊輝算法》都被作為朝廷選拔算官的基本書(shū)籍.兩書(shū)的朝鮮慶州府刻本(15世紀(jì))一直保存至今.由于《算學(xué)啟蒙》在明代失傳,清羅士琳幸得朝鮮金始振翻刻本(1660),于1839年在揚(yáng)州重新出版,成為中國(guó)現(xiàn)存各版本的母本.《算學(xué)啟蒙》對(duì)日本的影響也很大,不少日本學(xué)者在研究此書(shū)的基礎(chǔ)上寫(xiě)出專著,比較著名的有星野實(shí)宣《新編算學(xué)啟蒙注解》三卷(1672)、建部賢弘《算學(xué)啟蒙諺解大全》七卷(1690)等.宋元數(shù)學(xué)還曾傳到阿拉伯.13世紀(jì)旭烈兀①西征時(shí),帶走了一批中國(guó)天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家.他征服波斯后支持納西爾丁(Na-sirad-Din,1201 1274)在馬拉蓋(Maraghen,今伊朗境內(nèi))建立了一座規(guī)模宏大的天文臺(tái),并把帶去的中國(guó)學(xué)者留在天文臺(tái)和納西爾丁一起工作,這是中國(guó)數(shù)學(xué)傳入阿拉伯國(guó)家的一個(gè)途徑.阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西(al-kāshī,? 1429)的《算術(shù)之鑰》(The Key of Arithmetic,1427)中有不少內(nèi)容與中國(guó)數(shù)學(xué)相同,如賈憲三角形、增乘開(kāi)方法,以及和 百雞問(wèn)題 極為類似的 百禽問(wèn)題 等.他受到中國(guó)數(shù)學(xué)影響是可以肯定的,當(dāng)然不排除其獨(dú)立取得成果的可能性.在元代,阿拉伯?dāng)?shù)碼曾傳入中國(guó),但并未被中國(guó)人接受.歐幾里得《幾何原本》也傳到上都(今內(nèi)蒙古正藍(lán)旗),可惜沒(méi)有譯成中文,所以影響不大,不久便散失了.朱世杰之后,元代數(shù)學(xué)便開(kāi)始走下坡路.明代數(shù)學(xué)理論水平遠(yuǎn)不及宋元,天元術(shù)、四元術(shù)成為絕學(xué).直到明末清初,由于西方數(shù)學(xué)的傳入及中國(guó)學(xué)者的努力,數(shù)學(xué)才有所回升.那么,宋元數(shù)學(xué)衰落的原因是什么呢?首先,中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是依靠算籌的,雖然這是一種很有用的計(jì)算工具,但具有不可避免的局限性,因?yàn)樗贿m于計(jì)算而不適于證明,只能表示具體的量而不能表示抽象的量.這就限制了人們的抽象思維,限制了數(shù)學(xué)一般化程度的提高.宋元方程理論可以由天元術(shù)發(fā)展為四元術(shù),但在籌算體系內(nèi)卻無(wú)法建立五元術(shù)或n元術(shù),因?yàn)樗膫€(gè)未知數(shù)已把 太 的上下左右占滿.這個(gè)例子便說(shuō)明了算籌的局限性.更重要的是,人們無(wú)法利用算籌進(jìn)行邏輯推理,也很難在籌算體系內(nèi)發(fā)展數(shù)學(xué)符號(hào).但這些消極因素的總和,充其量是使數(shù)學(xué)停滯不前.而事實(shí)上,元末數(shù)學(xué)不僅沒(méi)前進(jìn),反而后退.造成這種狀況的原因就不在數(shù)學(xué)內(nèi)部,而在于社會(huì)了.當(dāng)時(shí)的政策是不利于科學(xué)發(fā)展的,尤其是八股取士制.1314年恢復(fù)科舉考試后,內(nèi)容以朱熹集注的《四書(shū)》為主,將數(shù)學(xué)內(nèi)容完全取消.不久,這種考試發(fā)展為 以四書(shū)五經(jīng)命題、八股文取士 的制度,引導(dǎo)知識(shí)分子遠(yuǎn)離自然科學(xué),嚴(yán)重束縛了讀書(shū)人的思想.知識(shí)分子們?yōu)榱斯γ?,紛紛埋頭于《四書(shū)五經(jīng)》,只會(huì)在儒家經(jīng)典中尋章摘句,奢談三綱五常之類的封建倫理,哪里還顧得上數(shù)學(xué)及其他有實(shí)用價(jià)值的科學(xué)技術(shù)呢?正如元末丁巨所說(shuō): 時(shí)尚浮辭,動(dòng)言大綱 士類以科舉故,未暇篤實(shí). 八股取士制的危害,在明代愈演愈烈,顧炎武曾痛斥說(shuō): 開(kāi)科取士,則天下之人日愚一日. 元末以后的社會(huì)思潮也不利于數(shù)學(xué)發(fā)展,成為官方哲學(xué)的理學(xué)完全摒棄了自然科學(xué).理學(xué)家們大談天理、人倫,認(rèn)為科學(xué)技術(shù)乃雕蟲(chóng)小技,為君子所不齒,甚至譏笑研究數(shù)學(xué)的人是 玩物喪志 .在這種社會(huì)環(huán)境中,數(shù)學(xué)由盛而衰就不奇怪了.

解放軍文職招聘考試斐波那契和十三世紀(jì)數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育

發(fā)布時(shí)間:2017-11-22 19:26:49斐波那契和十三世紀(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)過(guò)12世紀(jì)的傳播時(shí)期之后,初等數(shù)學(xué)在歐洲獲得了相應(yīng)的發(fā)展.在13世紀(jì)歐洲大多數(shù)國(guó)家里,城市成為商業(yè)和手工業(yè)發(fā)展的中心.特別是商業(yè)的發(fā)展,帶來(lái)了相當(dāng)復(fù)雜的計(jì)算.這時(shí)的歐洲出現(xiàn)了第一批理論數(shù)學(xué)家.意大利作為當(dāng)時(shí)的商業(yè)中心,培育了中世紀(jì)最杰出的教學(xué)家 斐波那契.斐波那契(L.Fibonacci,約1170---1240以后),又稱比薩的萊昂那多(LeonardoofPisa).他是一個(gè)商人的兒子,早年隨父到過(guò)北非,跟從 阿拉伯教師學(xué)習(xí)計(jì)算.后來(lái)到埃及、敘利亞、希臘、西西里和法國(guó)旅游,拜訪各地的學(xué)者,熟悉了不同國(guó)家在商業(yè)上使用的算術(shù)體系.經(jīng)過(guò)研究和比較,他認(rèn)為其他數(shù)系無(wú)一能與印度 阿拉伯?dāng)?shù)系相媲美.斐波那契于1200年回到家鄉(xiāng),把在各地學(xué)得的數(shù)學(xué)知識(shí)加以總結(jié),寫(xiě)成《算盤(pán)書(shū)》(LiberAbb-aci,1202年初版,1228年修訂本).這是向西歐介紹印度 阿拉伯?dāng)?shù)系和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的最早的著作.這本書(shū)的開(kāi)頭介紹了一些算盤(pán)知識(shí),而后卻偏離了這一課題.因此,書(shū)名中 算盤(pán) 一詞已失去它作為計(jì)算工具的本意,而應(yīng)理解為 算術(shù) 或由印度 阿拉伯?dāng)?shù)系而產(chǎn)生的 算法 .斐波那契大量吸收并系統(tǒng)地總結(jié)了來(lái)自阿拉伯文獻(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí),改進(jìn)了歐氏幾何的某些技巧,歸納了同種類型的方法和習(xí)題.在算術(shù)和一、二次方程的代數(shù)學(xué)方面,已成為中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)之典范.下面簡(jiǎn)要介紹一下《算盤(pán)書(shū)》的主要內(nèi)容.《算盤(pán)書(shū)》共有15章.第1---5章介紹印度 阿拉伯?dāng)?shù)碼記數(shù)法及其四則運(yùn)算.他首先給出9個(gè)印度數(shù)碼的寫(xiě)法及符號(hào)0的用途,以及如何記數(shù).他還舉例說(shuō)明這種記數(shù)法的優(yōu)越性.介紹了整數(shù)的四則運(yùn)算及乘、除法的驗(yàn)算法,討論如何把一個(gè)自然數(shù)分解為質(zhì)數(shù)的乘積,以及能被2,3,5,9整除的數(shù)的特點(diǎn),給出了大量的數(shù)表(乘法表、質(zhì)數(shù)表等).第6,7章介紹分?jǐn)?shù)記法及其運(yùn)算,混合分?jǐn)?shù)(帶分?jǐn)?shù))的記法按阿拉伯人的方式 分?jǐn)?shù)部分寫(xiě)在整數(shù)部分的左邊.作者指出用求最小公倍數(shù)的方法通分的優(yōu)越性,闡述了把一個(gè)分?jǐn)?shù)展開(kāi)為幾個(gè)單分子分?jǐn)?shù)之和的方法,并列出有關(guān)的數(shù)表.第8---11章討論商業(yè)上實(shí)用的各種算術(shù)問(wèn)題的解法.包括商品價(jià)格、利潤(rùn)和利息的計(jì)算、金屬合金的成色、混合物的比例、商品交換、貨幣轉(zhuǎn)換及各種度量問(wèn)題等.三位法的使用很普遍,還有較復(fù)雜的五位法(或稱六個(gè)量法則),即解兩個(gè)三位法的問(wèn)題.在第11章討論的混合問(wèn)題中出現(xiàn)了類似于中國(guó)古代數(shù)學(xué)家所熟悉的 百雞問(wèn)題 ,不過(guò)問(wèn)題被改為 三十錢(qián)買(mǎi)三十只鳥(niǎo) : 今有30只鳥(niǎo)值30個(gè)錢(qián)幣,其中,每只山鶉值3個(gè)錢(qián),每只鴿子值2個(gè)錢(qián),一對(duì)麻雀值一個(gè)錢(qián),問(wèn)每種鳥(niǎo)各多少? 9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿布卡米爾(Abū-Kamil)的數(shù)學(xué)著作中曾出現(xiàn)過(guò) 百雞問(wèn)題 ,一般認(rèn)為是由印度傳入的.有資料表明,斐波那契接觸過(guò)阿布卡米爾的著作,因此中國(guó)數(shù)學(xué)史家推測(cè),這類問(wèn)題是由中國(guó)經(jīng)印度、阿拉伯國(guó)家而傳入歐洲的.第12章的內(nèi)容最為豐富,涉及各種類型的問(wèn)題,如各種數(shù)列的求和法:算術(shù)級(jí)數(shù)、幾何級(jí)數(shù)、平方數(shù)數(shù)列和遞歸數(shù)列等.幾何級(jí)數(shù)的求和是為解決來(lái)自埃及紙草書(shū)中的問(wèn)題,而遞歸數(shù)列的求和則出現(xiàn)在關(guān)于家兔繁殖的問(wèn)題中:假定每對(duì)大兔每月能生一對(duì)小兔,每對(duì)小兔生長(zhǎng)兩個(gè)月就成大兔,問(wèn)在不發(fā)生死亡的條件下,由一對(duì)小兔開(kāi)始,一年之后可繁殖成多少對(duì)兔子?這個(gè)問(wèn)題使斐波那契名垂史冊(cè).問(wèn)題的答案由下列和式給出:1+1+2+3+5+8+ +233.其中從第三項(xiàng)起,每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和.這個(gè)數(shù)列現(xiàn)稱斐波那契數(shù)列,這是在歐洲最早出現(xiàn)的遞歸數(shù)列,它有許多重要而有趣的性質(zhì),在以后的近800年中一直是許多學(xué)者研究的對(duì)象.在12章中,有大量的問(wèn)題可以化歸為解一次方程.斐波那契稱未知數(shù)為res,即一堆東西,沒(méi)有引進(jìn)代數(shù)符號(hào).值得指出的是,在第12章,還有兩個(gè)問(wèn)題也是由中國(guó)輾轉(zhuǎn)傳到歐洲去的:一、求一數(shù),它能被7整除,而被2,3,4,5,6除時(shí)均余1;二、求一數(shù),它被3,5,7除時(shí)分別余2,3,2.第13章是用雙設(shè)法解線性方程,討論了幾種情況,計(jì)算過(guò)程用圖表給出.這里還最早用單詞minus和Plus表示不足和過(guò)剩,后來(lái)這兩個(gè)詞變成表示加法和減法的符號(hào).第14章介紹平方根和立方根的近似計(jì)算,立方根的計(jì)算相當(dāng)于使用下列公式第15章是問(wèn)題匯編,包括大量的幾何和代數(shù)應(yīng)用問(wèn)題,許多內(nèi)容取自花拉子米的《代數(shù)學(xué)》.除了未知數(shù)用res表示以外,在《算盤(pán)書(shū)》中,還采用了其他的術(shù)語(yǔ),如根 radix,未知數(shù)的平方 census,根的平方 quadratus,自由項(xiàng) numeres或denarins等.這些用語(yǔ)都是阿拉伯文中相應(yīng)單詞的拉丁文譯文.《算盤(pán)書(shū)》以它的內(nèi)容豐富、方法有效、多樣化的習(xí)題和令人信服的論證而名列12---14世紀(jì)數(shù)學(xué)著作之冠,對(duì)歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響.除了《算盤(pán)書(shū)》外,斐波那契還有三部著作傳世:《實(shí)用幾何》(Practica geometriae,1220)、《花絮》(Flos,1225)《平方數(shù)書(shū)》(Liber quadratorum,1225).在《實(shí)用幾何》中處理了大量的幾何學(xué)和三角學(xué)的題材,共有8章.內(nèi)容包括面積和體積的計(jì)算、平方根和立方根的近似計(jì)算,曲面的剖分,物體的測(cè)量以及關(guān)于圓的各種計(jì)算.應(yīng)用了二次方程的求解,投影方法和幾何圖形的相似性等方法.在當(dāng)時(shí)是一種很實(shí)用的小冊(cè)子.《花絮》記載的是在羅馬皇帝腓特烈二世(FriedrichⅡ)的宮廷中舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽時(shí)提出的問(wèn)題.內(nèi)容多是求代數(shù)方程的解,如解方程x2+5=y(tǒng)2,x2-5=z2及x3+2x2+10x=20等,他用逼近法給出第三個(gè)方程的近似解x=1.3688081075,精確到小數(shù)點(diǎn)后9位.《平方數(shù)書(shū)》是一部專門(mén)討論二次丟番圖方程的著作,其中有許多是他本人的發(fā)現(xiàn).書(shū)中系統(tǒng)地編排了各類問(wèn)題,如詳細(xì)討論了上面提到的方程x2+5=y(tǒng)2,x2-5=z2,給出了一系列重要結(jié)果及與此相關(guān)的命題,如 x2+y2和x2-y2不可能同是平方數(shù) , x4-y4不可能是平方數(shù) 等.這部著作使斐波那契成為數(shù)論中介于丟番圖(Diophantus,活動(dòng)于250---275)和費(fèi)馬(P.deFermat 1601---1665)之間貢獻(xiàn)最大的人物.在13世紀(jì)以前,歐洲的記數(shù)法比較混亂,計(jì)算方法也十分復(fù)雜、笨拙.印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼及其計(jì)數(shù)法傳入歐洲之后,使算術(shù)的面貌大為改觀.但新計(jì)數(shù)法代替舊的計(jì)數(shù)法是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程.在斐波那契之后,又出現(xiàn)了一批介紹印度 阿拉伯算術(shù)的著作.在英國(guó),有薩克羅博斯科 (J.de Sacrobosco,? 1256)的《算法書(shū)》(Algorismus);東羅馬有普萊紐迪斯(M.Planudes,約1255---1305)的《印度算術(shù)》(Psephophoria Kat Indous);在法國(guó)有維爾迪厄(A.de Villedieu,? 約1240)的《算法歌》(Carmen de algorismo);在德國(guó)有約丹努斯(N.deJordanus,約1220)的《算法論證》(Algorismus Demons-tratus)等.這些著作大多用拉丁文所著,后又從拉丁文譯成多種文字,通行了幾個(gè)世紀(jì),對(duì)新記數(shù)法的引入和計(jì)算方法的改進(jìn)起到重要作用.

解放軍文職招聘考試英雄時(shí)代——十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育

發(fā)布時(shí)間:2017-11-22 19:37:00英雄時(shí)代 十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)17世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就是微積分,18世紀(jì)的大部分?jǐn)?shù)學(xué)工作則是多方面利用微積分方法所進(jìn)行的新的創(chuàng)造.產(chǎn)生了現(xiàn)在仍在研究的許多數(shù)學(xué)新領(lǐng)域:微分方程、微分幾何、變分法,等等.18世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)是,取得的成果相當(dāng)豐富,涉獵的領(lǐng)域十分廣泛,但其中有些內(nèi)容卻經(jīng)不起嚴(yán)格的推敲.18世紀(jì)的卓越數(shù)學(xué)家主要有英倫三島的泰勒(B.Taylor,1685 1731)、馬克勞林(C.Maclaurin,1698 1746);歐洲大陸有瑞士的貝努利(Bernoulli)家族,以及18世紀(jì)數(shù)學(xué)界的中心人物、在數(shù)學(xué)史上與阿基米德(Archimedes)、牛頓(I.Newton)、高斯(F.Gauss,1777 1855)一起被稱為 四個(gè)最偉大的數(shù)學(xué)家 的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L.Euler,1707 1783).隨著牛頓的去世,以及牛頓與萊布尼茨(G.W.Leibniz)關(guān)于微積分優(yōu)先權(quán)之爭(zhēng)日趨激烈,英倫三島數(shù)學(xué)界固守牛頓的流數(shù)方法,拒不接受歐洲大陸的數(shù)學(xué)思想,英倫三島在牛頓尤其是在馬克勞林之后,數(shù)學(xué)發(fā)展相對(duì)比較緩慢.繼貝努利家族和歐拉之后,主宰18世紀(jì)的數(shù)學(xué)是法國(guó)數(shù)學(xué)家,他們中有棣莫弗(A.DeMoivre,1667 1754)、克萊羅(A.C.Clairaut,1713 1765)達(dá)朗貝爾(D Alembert,1717 1783)、蘭伯特(J.H.La-mbert,1728 1777)著名的 三L :拉格朗日(J.L.La-grange,1736 1813)、拉普拉斯(P.S.Laplace,1749 1827)、勒讓德(A.M.Legendre,1752 1833),以及蒙日(G.Monge,1746 1818)和卡諾(L.Carnot,1753 1823).法國(guó)一直到19世紀(jì)上半葉仍是世界數(shù)學(xué)中心.18世紀(jì)數(shù)學(xué)工作的推動(dòng)力是解決物理 自然科學(xué)的問(wèn)題,工作的目標(biāo)不是數(shù)學(xué),而是解決物理問(wèn)題.法國(guó)百科全書(shū)學(xué)派的狄德羅(D.Dideret,1713 1784)和達(dá)朗貝爾明確地把數(shù)學(xué)看作是自然科學(xué)的一個(gè)分支,這樣數(shù)學(xué)在歷史上第一次從屬于自然科學(xué),而且這種觀點(diǎn)到今天仍有影響.這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)家?guī)缀鯚o(wú)一例外地都從事于科學(xué)、工業(yè)技術(shù)、軍事問(wèn)題的研究,并且其認(rèn)真程度絲毫不亞于研究數(shù)學(xué).同時(shí),數(shù)學(xué)家還逐漸拋棄了宇宙是上帝按照數(shù)學(xué)定律設(shè)計(jì)的信念,機(jī)械決定論開(kāi)始占據(jù)人們的心靈,而這一切都得益于數(shù)學(xué)的巨大成就.18世紀(jì)可以說(shuō)是數(shù)學(xué)史上的英雄時(shí)代.第一節(jié) 數(shù)學(xué)分析一、微積分18世紀(jì)數(shù)學(xué)的核心是以微積分為主的數(shù)學(xué)分析,這一世紀(jì)的中心人物是歐拉.牛頓、萊布尼茨創(chuàng)造了微積分,而歐拉則使這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域充滿了光輝燦爛的景色.拉普拉斯(P.S.Laplace)的話道出了當(dāng)時(shí)的狀況: 讀讀歐拉,讀讀歐拉(指其著作),他是我們大家的老師. 這一評(píng)價(jià)甚至在今天也不過(guò)分.歐拉于1707年4月15日誕生于瑞士巴塞爾.小時(shí)由父親任啟蒙教師,12歲入當(dāng)?shù)刂袑W(xué),16歲畢業(yè)后遵從父愿,入巴塞爾大學(xué)神學(xué)系學(xué)習(xí).在神學(xué)課程之余,他被約翰 貝努利(JohannBernoulli)的數(shù)學(xué)講座深深吸引了,在貝努利兄弟的影響下,數(shù)學(xué)逐漸擠走了神學(xué),占據(jù)了他的學(xué)習(xí)日程表,而且貝努利也開(kāi)始對(duì)他刮目相看,熱情地指點(diǎn)他.歐拉回憶約翰 貝努利時(shí)曾深情地說(shuō),貝努利讓他每星期六下午到晚上自由地去他的住處,他讓歐拉每解決一個(gè)問(wèn)題,歐拉就能很順利地解決10個(gè)問(wèn)題.的確,在貝努利兄弟的指導(dǎo)下,歐拉已經(jīng)具備了優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的素質(zhì),并開(kāi)始從事數(shù)學(xué)研究.18歲時(shí)他就發(fā)表了數(shù)學(xué)論文.1726年,年僅19歲的歐拉由于在船的立桅方面的研究論文而獲得巴黎科學(xué)院的獎(jiǎng)金,從而在歐洲數(shù)學(xué)界嶄露頭角.這一年他正好大學(xué)畢業(yè).在瑞士,年輕的歐拉未能獲得自己所謀求的職位,恰巧這時(shí)約翰 貝努利在俄國(guó)彼得堡科學(xué)院任教授的兒子尼古拉 貝努利(Nicolaus Bernoulli)和丹尼爾 貝努利(Daniel Bernoulli)來(lái)信說(shuō),俄國(guó)歡迎歐拉.1727年5月17日歐拉來(lái)到彼得堡科學(xué)院任丹尼爾 貝努利的副手,1731年被任命為副教授,1733年他接替丹尼爾 貝努利擔(dān)任彼得堡科學(xué)院的數(shù)學(xué)教授.他為俄國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)展、科學(xué)進(jìn)步做了大量的工作,他的許多成果出現(xiàn)在彼得堡科學(xué)院的刊物上,幫助俄國(guó)政府解決了大量的物理學(xué)、工程學(xué)方面的難題.過(guò)度的案頭工作使得這位數(shù)學(xué)大師得了眼病,不幸于1735年右眼失明,這一年他還只有28歲.1741年,歐拉應(yīng)腓特烈大帝之邀擔(dān)任柏林科學(xué)院物理數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng).除此之外,他還在宮廷為公主們講授數(shù)學(xué)、物理、天文、哲學(xué)乃至宗教方面課程.講述的內(nèi)容曾以《給一位德國(guó)公主的信》,(Letters to a German Princess)發(fā)表,是一部風(fēng)趣、文筆優(yōu)雅的科普作品.他為普魯士研究了保險(xiǎn)、河運(yùn)等方面的一系列問(wèn)題.1766年,俄國(guó)沙皇誠(chéng)摯的邀請(qǐng)終于使歐拉又回到了彼得堡科學(xué)院.實(shí)際上,他時(shí)刻也沒(méi)忘記俄國(guó).在1741 1766年的25年時(shí)間里,身在柏林的歐拉,卻仍為彼得堡科學(xué)院寫(xiě)了上百篇論文,時(shí)刻關(guān)注著俄國(guó)的事務(wù).的確,俄國(guó)、彼得堡科學(xué)院是他的第二故鄉(xiāng),是他施展聰明才智的地方.俄國(guó)人民也深深地?zé)釔?ài)他,以致于俄國(guó)數(shù)學(xué)史家差不多總是將歐拉當(dāng)作俄國(guó)數(shù)學(xué)家、俄國(guó)數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人和彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的奠基人.回到俄國(guó)后不久,嚴(yán)寒的氣候?qū)W拉微弱的視力如雪上加霜,很快左眼視力衰退,最后于1766年底雙目失明.這對(duì)于一位以案頭工作為主的數(shù)學(xué)家的打擊可想而知.此時(shí)他已59歲,年近花甲.然而,在他生命的最后17年,盡管雙目失明,在全盲中他的成果卻絲毫不減往年.1771年,圣彼得堡突起大火,殃及他的住宅,雙目失明而又身染疾病的歐拉被圍困在大火中.雖然一位工人冒著生命危險(xiǎn)將這位大師從大火中搶救了出來(lái),然而他的書(shū)庫(kù)、大量研究成果卻全部化為灰燼.沉重的打擊,并沒(méi)有使天性樂(lè)觀的歐拉屈服,而是更加勤奮的工作.他以驚人的毅力與黑暗作斗爭(zhēng),以超常的記憶力和心算從事數(shù)學(xué)研究.人們發(fā)現(xiàn),對(duì)不少有才能的數(shù)學(xué)家在紙上做起來(lái)也很困難的數(shù)學(xué)證明與計(jì)算,他卻能心算出來(lái)!在數(shù)學(xué)史上,歐拉與阿基米德、牛頓、高斯一起被稱為四位最偉大的數(shù)學(xué)家.而歐拉又是數(shù)學(xué)史上成果最多、數(shù)學(xué)著作最多的數(shù)學(xué)家.研究的數(shù)學(xué)領(lǐng)域遍歷微積分、微分方程、解析幾何與微分幾何、數(shù)論、級(jí)數(shù)與變分法,他還是卓越的理論物理學(xué)家,通過(guò)將數(shù)學(xué)應(yīng)用到整個(gè)物理學(xué)領(lǐng)域,創(chuàng)立了分析力學(xué)及剛體力學(xué)學(xué)科.他寫(xiě)了數(shù)學(xué)分析、解析幾何與微分幾何、代數(shù)、變分法、力學(xué)方面的許多課本,并且在百余年的時(shí)間里被用作標(biāo)準(zhǔn)教材.除課本外,從20歲開(kāi)始,他以每年約800頁(yè)左右的速度發(fā)表高質(zhì)量的研究性論文,論文所獲得的獎(jiǎng)金成了他的生活收入主要來(lái)源.雙目失明后,他還寫(xiě)了好幾本書(shū)和400余篇研究論文.歐拉全集達(dá)厚厚的74卷.今天,我們幾乎可以在數(shù)學(xué)的任何分支中看到歐拉的名字:初等幾何中的歐拉線,立體幾何中的歐拉定理,解析幾何中的歐拉變換,方程中的歐拉解法,微積分中的歐拉積分,數(shù)論中的歐拉函數(shù),微分方程中的歐拉方程,級(jí)數(shù)論中的歐拉常數(shù),以及歐拉線、眾多的歐拉方程、歐拉公式 ,令人目不暇接.然而,歐拉并不像牛頓、萊布尼茨那樣終身一人.大量的數(shù)學(xué)、科學(xué)創(chuàng)造并未犧牲他所有的天倫之樂(lè).他是一位稱職的丈夫,13個(gè)孩子喜愛(ài)的父親.與妻子一同安排家務(wù),給孩子們做科學(xué)游戲,一起念誦《圣經(jīng)》,在黃昏的林蔭道上留下了幸福家庭的串串腳?。畾W拉愛(ài)好思考哲學(xué)問(wèn)題,曾數(shù)次與啟蒙思想家伏爾泰(F.M.A.Voltaire)切磋,甚至欣賞伏爾泰對(duì)他的哲學(xué)觀點(diǎn)的尖銳批評(píng).可見(jiàn)其生性是多么豁達(dá)樂(lè)觀.1783年9月18日傍晚,為慶祝計(jì)算氣球上升定律的成功,他請(qǐng)朋友們吃飯,席間他興致勃勃地講述了計(jì)算要領(lǐng),然后喝茶、逗孫子玩,突然疾病發(fā)作,煙斗落地,口中喃喃: 我死了. 于是 他停止了計(jì)算,也停止了生命 .在歐拉的時(shí)代,隨著微積分的發(fā)展,函數(shù)概念顯得越來(lái)越重要了.18世紀(jì)時(shí)占主導(dǎo)地位的函數(shù)概念是,函數(shù)是由一個(gè)解析表達(dá)式(有限或無(wú)限)給出的.今天我們熟知的各種初等函數(shù),大都得益于歐拉的系統(tǒng)總結(jié).1748年,他寫(xiě)下了兩卷本《無(wú)窮小分析引論》(Introduction Analysin Infinitorum),首先,將函數(shù)定義為由一個(gè)變量與一些常量通過(guò)任何方式形成的解析表達(dá)式.隨后系統(tǒng)地研究了各種函數(shù).在三角函數(shù)方面,他一方面使sinx,cosx,tgx等徹底擺脫了直角三角形的局限,使之成為一般意義上的函數(shù);同時(shí)弄清了三角函數(shù)的周期性,并且引入了弧度概念.他區(qū)分了顯函數(shù)與隱函數(shù),單值函數(shù)與多值函數(shù).不僅如此,他還在意識(shí)到超越數(shù)的基礎(chǔ)上,引入了超越函數(shù),認(rèn)為三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及某些特殊函數(shù)是超越函數(shù),這些函數(shù)的特征是不能通過(guò)對(duì)某個(gè)表達(dá)式作代數(shù)運(yùn)算得到.實(shí)際上,代數(shù)函數(shù)、超越函數(shù)的提出表明歐拉已經(jīng)定義了多元函數(shù)f(x,y, ),其中二元函數(shù)f(x,y)、三元函數(shù)f(x ,y,z)在當(dāng)時(shí)是最重要的.(其中,P(x)為x的有理函數(shù),R(x)則為四次多項(xiàng)式).分進(jìn)行更一般的研究乃至建立橢圓函數(shù)論則是19世紀(jì)的事情了.今天已經(jīng)遍及數(shù)學(xué)、物理的許多部門(mén)的兩個(gè)非常重要的非初等函數(shù) (Gamma)函數(shù)、 (Beta)函數(shù),也是18世紀(jì)引入的.這兩個(gè)函數(shù)都是歐拉創(chuàng)造的,最初是因?yàn)榍蠼獬N⒎址匠痰男枰S后哥德巴赫(C.Goldbach,1690 1764)考慮插值問(wèn)題時(shí)就這個(gè)問(wèn)題求教歐拉,于是歐拉在1729年10月13日寫(xiě)給哥德巴赫的信中解決了這個(gè)問(wèn)題,并在1730年1月8日第二封信中引入了積分問(wèn)題了 (n+1)=n (n).明顯地 (1)=1.于是對(duì)任何正整數(shù)n都有 (n+1)=n (n)=n (n-1) 2 1 (1)在1830年1月8日給哥德巴赫的信中,歐拉還提出了今天的 函數(shù)不過(guò)歐拉在1771年已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了 函數(shù)與 -函數(shù)的重要關(guān)系:B(p,拉第二型積分,這一名稱一直沿用到今天.勒讓得還得到了下述結(jié)果:普通導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別開(kāi)始并不被人們重視,許多人對(duì)兩者都用同樣的記號(hào),但萊布尼茨卻察覺(jué)了這一點(diǎn),1694年他曾用 m 表示 64年才出版的著作中,封田(A.Fonta-ine)對(duì)于x,y,z,u等變量的函數(shù) ,給出了公式格朗日等人的改進(jìn),逐漸演變成了今天的偏導(dǎo)數(shù)符號(hào).克萊羅在偏導(dǎo)數(shù)方面的主要貢獻(xiàn)是得到了dz=pdx+qdy是全微分的條件,其中p,q是x,y的函數(shù), 全微分 是由封田提出的,系克雷羅得到了這樣的結(jié)果:pdx+qdy是全微分(即 方程的研究極為有用,它是積分因子法的理論基礎(chǔ).拉對(duì)由弧圍成的有界區(qū)域上的二重定積分已經(jīng)有了比較清楚的概念,并給出了用累次積分計(jì)算這種積分的程序,但對(duì) f(x,y)dxdy的次序交換問(wèn)題仍比較模糊.由于探討引力、多體力學(xué)問(wèn)題,拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德開(kāi)始了三重積分研究.拉格朗日用三重積分表示引力.值得注意的是,積分變換在三重積分中發(fā)揮了重要的作用.1773年,拉格朗日在他關(guān)于旋轉(zhuǎn)橢球引力的研究中,發(fā)現(xiàn)用直角坐標(biāo)計(jì)算很困難,于是轉(zhuǎn)用球坐標(biāo),他引入積分變換的實(shí)質(zhì)是用r2sin d ddr代替dxdydz,于是他開(kāi)始了多重積分變換的課題,1772年拉普拉斯也給出了球坐標(biāo)變換.從此, 變換 在數(shù)學(xué)中逐漸為人們重視,18世紀(jì)的變換主要集中在兩個(gè)方面,一個(gè)是坐標(biāo)變換,這對(duì)于多重積分非常重要,另一是微分方程中的變換,其中最著名的是拉普拉斯變換.