解放軍文職招聘考試測度與積分理論-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 20:15:02測度與積分理論測度是長度、面積和體積概念的精密化及推廣．各民族數(shù)學發(fā)展一開始均致力于測量長度和面積，得出相應(yīng)的公式及方法，而統(tǒng)一的求積方法一直到牛頓和萊布尼茨建立微積分之后才得到．這時求積問題變成一個特殊的積分問題．但積分是一個相當復(fù)雜的概念，19世紀由于分析的嚴格化才導(dǎo)致由柯西、黎曼及達布相繼改進的黎曼積分的概念，最后確定下來．隨著康托爾點集論的建立，要求對更一般的點集的 大小 進行比較及量度，這要求定義測度．先是對黎曼可積性條件中函數(shù)的不連續(xù)點集的 測度 給出定義．最早是哈那克(A．Harnack，1851 1888)、杜布瓦 瑞芒(P．du Bois Rey－mond，1831 1889)、史托爾茨(O．Stolz，1842 1905)及康托爾在1881到1885試著做出定義，他們均采用覆蓋區(qū)間長度的下確界，但是這樣定義有毛?。?，兩個無公共點集的并集的 測度 有時能夠小于兩集的 測度 之和，除了上述定義的 外 測度之外，最先定義 內(nèi) 測度的是皮亞諾，他在1887年定義 可測 集為內(nèi)、外測度相等，這樣雖然克服上述困難，但有界開集并不一定可測．若爾當在他的《分析教程》第一卷第二版(1893)中也做了類似的定義，同樣也有類似的毛?。畬@些毛病的補救來自波萊爾(E．Borel，1871 1956)，他在《函數(shù)論教程》中大大改進了以前的測度觀念，利用可數(shù)可加性對任一有界開集構(gòu)造地定義測度．他還考慮零測度集(實際上這個觀念可以追溯到黎曼)．而真正把波萊爾的方法同皮亞諾 若爾當?shù)霓k法結(jié)合而形成系統(tǒng)測度論的則是波萊爾的學生勒貝格，這些發(fā)表在他的博士論文《積分、長度、面積》當中．勒貝格的功績不僅在于建立系統(tǒng)的測度理論，更主要的是建立系統(tǒng)的積分理論．在勒貝格之前，除了黎曼積分之外，還有斯蒂爾吉斯(T．J．Stieltjes，1856 1894)積分．斯蒂爾吉斯在1894年發(fā)表的 連分式的研究 中證明：如連分式數(shù)F(Z)，F(xiàn)(Z)可表為曼積分對于一般的數(shù)學分析已經(jīng)足夠，但是還有一系列不理想的地方．微積分的基本定理是微分和積分互為逆運算，也就是說如果則導(dǎo)數(shù)F (x)存在，而且等于f(x)，至少在f光滑的點是如此．但是1881年沃爾泰拉(V．Volterra，1860 1940)還在比薩大學做學生時，發(fā)現(xiàn)一個例子：一個函數(shù)F在(0，1)區(qū)間上定義有界，其導(dǎo)數(shù)f＝F 處處存在，但是在當時流行的積分 黎曼可積的意義是不可積的．因此，需要定義一種積分，它可以在更廣的一類函數(shù)上定義，而且使微分和積分成為互逆的運算．另外對這種積分還希望收斂級數(shù)可以逐項積分．勒貝格在他的1902年學位論文中邁出新的一步，他定義勒貝格積分與以前定義積分的方式不同，以前是先定義積分，然后由積分得到 測度 ，勒貝格與此相反，他先定義測度，然后定義積分．他定義積分時，不去把自變量的區(qū)間加以區(qū)分，而把因變量y的區(qū)間(對于實函數(shù)來說是R的子集)加以重分(成有限個區(qū)間)，再仿照通常的辦法定義積分，這樣就可以使一些很壞的函數(shù)也成為勒貝格可積的，最明顯的例子就是狄利克雷函數(shù)．這樣，大大擴充了可積函數(shù)的范圍．另外如果勒貝格可積函數(shù)同時也黎曼可積，則兩個積分相等．并且與一些極限運算可以交換，而且可以推廣到高維．勒貝格積分雖然能解決沃爾泰拉原來的問題，但并不足夠一般以致能夠使所有具有有限導(dǎo)數(shù)f(x)＝F (x)的函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)=F (x)都可積．為此，法國數(shù)學家當日瓦(A．Denjoy，1884 1974)在1912年和德國數(shù)學家佩隆(O．Per－ron，1880 1975)在1914年分別設(shè)計了以他們各自的姓定義的積分．其后魯金(H．H．Лузин，1883 1950)給出描述性定義，這三者是等價的．1915年法國數(shù)學家弗雷歇把積分擴張到抽象集合的泛函上．他的模式取自1913年奧地利數(shù)學家拉東(J．Radon，1887 1956)的工作，其中引進集函數(shù)．他實際上綜合了斯蒂爾吉斯積分與勒貝格在1910年把勒貝格測度論推廣到高維(三維及三維以上)歐氏空間的研究．勒貝格通過可測函數(shù)的積分定義一個集函數(shù)，證明它是完全可加的而且絕對連續(xù)的．不過他只有點函數(shù)觀念，而拉東則利用集函數(shù)定義拉東測度．1930年波蘭數(shù)學家尼古丁(O．Nikodyn，1887 1974)對抽象測度論完成了1910年勒貝格定理在抽象測度論的推廣，最終完成抽象測度論的建立．它不僅構(gòu)成概率論的基礎(chǔ)，同時也是抽象調(diào)和分析、譜理論等分支不可少的前提．
解放軍文職招聘考試秦九韶與《數(shù)書九章》-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 19:28:18秦九韶與《數(shù)書九章》秦九韶(約1202 1261)，南宋數(shù)學家．字道古，魯郡(今山東兗州)人．秦九韶生于四川，其父秦季槱為紹熙四年(1193)進士，曾任工部郎中、秘書少監(jiān)等職．秦九韶青年時代隨父至臨安(今杭州)，向秘書省下屬的太史們學習天文歷法，又嘗從 隱君子 受數(shù)學．寶慶元年(1225)隨父回四川，紹定六年(1233)前后任某縣縣尉．端平二年(1235)，蒙古軍隊攻入四川，秦九韶離鄉(xiāng)避難，后任蘄州(今湖北蘄春)通判及和州(今安徽和縣)守．淳祐四年(1244)為建康(今南京)通判．同年十一月因母喪回家守孝(三年)，在此期間埋頭著述，于淳祐七年(1247)完成巨著《數(shù)書九章》．時人稱贊秦九韶 性極機巧，星象、音律、算術(shù)以及營造等事無不精究．秦九韶守孝期滿后，又去做官．他從此熱衷于功名利祿，不再進行科學研究．寶祐二年(1254)到建康任沿江制置司參議，不久離職家居．后攀附權(quán)臣賈似道，得于寶祐六年(1258)任瓊州(今海南?？?守．又追隨吳潛，得于開慶元年(1259)為司農(nóng)寺丞．景定元年(1260)，吳潛罷相．秦九韶受牽連，被貶于梅州(今廣東梅縣)，不久便死于任所．《數(shù)書九章》共18卷81題，按用途分為大衍、天時、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易九類．大衍類所闡述的一次同余式理論是當時領(lǐng)先于世界的一項杰出成果，書中提出以大衍求一術(shù)為核心的模數(shù)兩兩互素的一次同余式組解法程序，又解決了把非兩兩互素模數(shù)化為兩兩互素的問題．該書對方程理論也有重要貢獻，作者以矩陣法解線性方程組，形成一套相當完善的機械化程序，又在劉益 正負開方術(shù) 基礎(chǔ)上，解決了高次方程數(shù)值解法問題，所解方程已高達10次．另外，作者還研究了任意三角形的面積，得到與海倫公式等價的結(jié)果．秦九韶對數(shù)學的本質(zhì)及作用有獨到見解．他在《數(shù)書九章》序言中說，數(shù)學 大則可以通神明，順性命；小則可以經(jīng)世務(wù)，類萬物 ．此處的通與神取自《周易》： 陰陽不測之謂神， 往來不窮謂之通 ．所謂 通神明 ，即往來于變化莫測的事物之間，明察其中的奧秘．順性命，即順應(yīng)事物本性及其發(fā)展規(guī)律．在秦九韶看來，數(shù)學不僅是解決實際問題的工具，而且應(yīng)該達到 通神明，順性命 的崇高境界，故稱之為 大 ．在討論數(shù)學的本質(zhì)時，秦九韶還提出一個著名的命題： 數(shù)與道非二本也． 因為 道本虛一 而一是數(shù)的基礎(chǔ)，道即規(guī)律而數(shù)學能體現(xiàn)規(guī)律．數(shù)與道有一個共同的特點，人們可以不自覺地遵循之．對于道， 百姓日用而不知 (《周易 系辭上傳》)；對于數(shù)學， 常人昧之，由而莫之覺 (《數(shù)書九章序》)．從該書序言來看，秦九韶研究數(shù)學的目的是 以擬于用 ．他贊賞前人 或明天道而法傳于后，或計功策而效驗于時 ．他認為研究理論應(yīng)從實際出發(fā)， 數(shù)術(shù)之傳，以實為體 ；但同時要發(fā)揮思維的作用， 歷久則疏，性智能革 ．他特別強調(diào)要獨立思考，切忌模襲前人，說： 不尋天道，模襲何益？ 他懷著對道無限崇尚的心情，把《數(shù)書九章》 進之于道 ．秦九韶對道的推崇反映了對數(shù)學規(guī)律的重視，而他對規(guī)律的探索正是為了應(yīng)用．
