2019解放軍文職招聘考試教育學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)24-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2019-04-28 00:35:0222.口頭型考試評(píng)價(jià)：是一種以口頭形式進(jìn)行評(píng)價(jià)的考試方法，一般用于小學(xué)一、二年級(jí)，受學(xué)生年齡特征的限制，用口頭回答的形式評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。23.教學(xué)診斷：在自己或他人的教學(xué)實(shí)踐中，教師要善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，從教學(xué)問(wèn)題入手，經(jīng)常進(jìn)行自我反思，深入剖析，找出 病因 ，分析 病理 ，進(jìn)而 對(duì)癥下藥 提出解決問(wèn)題的方法與對(duì)策。24.自我反思：是教師對(duì)教育教學(xué)過(guò)程的再認(rèn)識(shí)、再思考、再探索、再創(chuàng)造。是在新課程理念指導(dǎo)下，以教育教學(xué)活動(dòng)過(guò)程為思考對(duì)象，對(duì)教學(xué)行為、教學(xué)決策以及由此所產(chǎn)生的教學(xué)結(jié)果進(jìn)行審視和分析的過(guò)程，是一種通過(guò)提高參與者的自我覺(jué)察水平來(lái)促進(jìn)自身專業(yè)素質(zhì)的提高能力發(fā)展的一種批判性思維活動(dòng)。25.課堂即興評(píng)價(jià)：是指在課堂教學(xué)活動(dòng)中對(duì)學(xué)生的各種學(xué)習(xí)行為、交往行為給予及時(shí)、合理的、激勵(lì)的評(píng)價(jià)。26.合作型考試評(píng)價(jià)：是新課程中出現(xiàn)的穎的一種考試評(píng)價(jià)方式。它要求幾位學(xué)生合作完成一件作品或一個(gè)項(xiàng)目。然后，教師對(duì)具體的作品或完成的項(xiàng)目結(jié)果首先進(jìn)行量分或等級(jí)評(píng)價(jià)，這種量分或等第是合作的學(xué)生共同分享的。其次，由合作的學(xué)生再相互對(duì)每個(gè)人分工完成的情感、態(tài)度和質(zhì)量進(jìn)行量分或等級(jí)評(píng)價(jià)，這種量分或等第是有差異的。最后，教師對(duì)各小組的合作情況和水平進(jìn)行量分或等級(jí)評(píng)價(jià)，這種量分或等第又是合作的學(xué)生共同分享的。把三部分量分或等第用一定的權(quán)重和形式合成，便成為每個(gè)學(xué)生在這次合作型考試評(píng)價(jià)中的最終得分或等第。這樣的考試評(píng)價(jià)更注重考核的是學(xué)生分工合作的過(guò)程、責(zé)任心和團(tuán)隊(duì)精神。
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發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 20:27:04計(jì)算數(shù)學(xué)長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)一直以數(shù)值計(jì)算為其最主要的任務(wù)，大量數(shù)學(xué)研究的目的無(wú)非是建立算法并不斷加以改進(jìn)，使之算得準(zhǔn)、算得快、算得容易、方便，得出令人滿意的結(jié)果．20世紀(jì)計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，根本改變了計(jì)算數(shù)學(xué)這一分支，對(duì)數(shù)學(xué)及其他科學(xué)也產(chǎn)生革命性的影響．1947年馮 諾伊曼等人發(fā)表的 高階矩陣的數(shù)值求逆 標(biāo)志著數(shù)值分析這門(mén)學(xué)科的誕生．其目的不僅要建立優(yōu)秀的算法，特別是適用于計(jì)算機(jī)的程序，而且要對(duì)算法進(jìn)行比較和分析，特別是對(duì)誤差分析穩(wěn)定性收斂速度以及計(jì)算量、存貯量等要進(jìn)行細(xì)致的研究，其后產(chǎn)生一系列的有效方法，如烏拉姆(S．Ulam， 1909 1984)等創(chuàng)造的蒙特卡羅法以及有限元法、稀疏矩陣、樣條函數(shù)法、快速傅里葉變換(1965)等一系列行之有效的方法．各種數(shù)值代數(shù)、數(shù)值積分以及解各種方程的方法也有許多改進(jìn)及研究．針對(duì)具體問(wèn)題也產(chǎn)生了計(jì)算力學(xué)、計(jì)算流體力學(xué)、計(jì)算物理學(xué)、計(jì)算化學(xué)等等新興分支，成為與實(shí)驗(yàn)互補(bǔ)的科研手段．60年代初在基礎(chǔ)研究方面還產(chǎn)生了計(jì)算復(fù)雜性理論，提出一系列基本的與計(jì)算有關(guān)的理論問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)的問(wèn)題大都化成微分方程，對(duì)于這些方程的分析方法及數(shù)值方法的發(fā)展簡(jiǎn)述如下：1．常微分方程從天體力學(xué)的三體問(wèn)題到各種非線性自由振動(dòng)及受迫振動(dòng)問(wèn)題，許多實(shí)際問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為解常微分方程的問(wèn)題．一般來(lái)講，常微分方程，特別是非線性常微分方程，找不到精確的解析解，甚至在有解析解時(shí)，也不能由常用的函數(shù)表出，因此，從19世紀(jì)晚期，人們就致力于尋找好的求近似解析解的方法，而第二次世界大戰(zhàn)以后，更促進(jìn)各種數(shù)值方法的改進(jìn)及發(fā)展．最早的近似方法是龐加萊所發(fā)展起來(lái)的攝動(dòng)方法，現(xiàn)在已成為數(shù)學(xué)的一分支 攝動(dòng)理論．最早它是瑞典天文學(xué)家林德斯泰特(Lindstedt)在1883年為解天體力學(xué)一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題提出來(lái)的．為了避免長(zhǎng)期項(xiàng)的出現(xiàn)，龐加萊在1892年對(duì)于方程嚴(yán)格證明存在定理，從而使該方法合法化．而對(duì)于非線性振動(dòng)中常見(jiàn)的方程(其中f是t的周期函數(shù)， 是小參數(shù))，則由弗瑞德利克斯等人(1942 1943)及斯托克(J．J．Stoker， 1905 )于1950年所解決．同時(shí)蘇聯(lián)克雷洛夫(H．M．Крылов，1879 1955)及博戈留波夫(H．H．Боголюбов，1909 1991)在1943年發(fā)展了范德波(Van der Pol)于1926年首創(chuàng)的方法，發(fā)展了一套平均法，后來(lái)在研究非線性振動(dòng)時(shí)常用．另外一種所謂調(diào)和均衡法首先由達(dá)芬(G．Duffing)在1918年提出，應(yīng)用也很廣泛．從20年代起，問(wèn)題更集中于奇異攝動(dòng)問(wèn)題(如小參數(shù)ε出現(xiàn)于高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和大參數(shù)問(wèn)題)．最早是杰夫瑞斯(H．Jeffreys， 1891 )從1924年起發(fā)表四篇論文研究馬丟方程解法，其后溫采爾(G．Wentzel，1898 )、克拉默斯(H．Kramers，1894 1952)、布理魯因(L.Brillouin，1889 1969)獨(dú)立發(fā)展成解薛定諤方程的W K B方法．另外還有蘭格(R.E.Langer，1894 )在1931年提出并由奧立佛(Oliver)發(fā)展起的LO方法，對(duì)于空氣動(dòng)力學(xué)許多問(wèn)題中產(chǎn)生的強(qiáng)奇異性，1949年由萊特希爾(M．S．Lighthill，1924 )引進(jìn)自變量的非線性變換，使得龐加萊正則攝動(dòng)方法也能產(chǎn)生有效漸近解，這方法于1953年由郭永懷，(1909 1968)發(fā)展后被命名為PLK方法1955年華沙(W．Wasow，1909 )把這個(gè)經(jīng)驗(yàn)方法加以系統(tǒng)化．解常微分方程的數(shù)值方法還有不少，應(yīng)用最廣泛的是差分方法．最早可追溯到18世紀(jì)，其后有相當(dāng)大的改進(jìn)．2．偏微分方程偏微分方程是由物理學(xué)、幾何學(xué)、函數(shù)論等提出來(lái)要求求解的問(wèn)題，從18世紀(jì)中葉起，二百多年來(lái)對(duì)于各種類型的方程進(jìn)行大量的研究，只有到第二次世界大戰(zhàn)之后，才有比較系統(tǒng)的研究．但應(yīng)用問(wèn)題，特別是非線性問(wèn)題，仍然是具體問(wèn)題具體分析，缺乏統(tǒng)一的方法，許多問(wèn)題發(fā)展了有效的數(shù)值解法．19世紀(jì)以來(lái)，研究最多的有波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程及位勢(shì)方程，對(duì)于彈性力學(xué)方程及麥克斯韋方程組也有許多進(jìn)展，而流體力學(xué)方程，特別是有粘性的不可壓縮流體納維爾 斯托克斯方程則有許多困難．進(jìn)入20世紀(jì)以后，一系列新的方程出現(xiàn)了：如邊界層方程、薛定諤方程、反應(yīng)擴(kuò)散方程等等．求解偏微分方程的過(guò)程推動(dòng)了分析的發(fā)展：如傅里葉分析及各種積分變換、復(fù)變函數(shù)論、變分法、正交函數(shù)論、漸近展開(kāi)、位勢(shì)理論等等．在求解偏微分方程的近似方法及數(shù)值方法當(dāng)中，較常用的有變分方法、有限差分方法及有限元方法等．變分方法來(lái)源于黎曼為解決狄利克雷問(wèn)題所提出的狄利克雷原理，該原理雖遭魏爾斯特拉斯的批判，但在1900年被希爾伯特恢復(fù)其合法性．他的做法是直接求出泛函極值的最小系列，從而解對(duì)應(yīng)的邊值問(wèn)題．希爾伯特的學(xué)生黎茲(W．Ritz，1878 1909)在1908年應(yīng)用希爾伯特的思想提出黎茲方法，他首先把解展成完 小序列來(lái)逼近解．對(duì)于本征值問(wèn)題Au＝ u，可以用瑞利商為泛函來(lái)通過(guò)黎茲方法解決．蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伽遼金(Б．Г．Галёркин，1871 1945)改變決定系數(shù)的方法，可用于更為一般的問(wèn)題，包括初值問(wèn)題，這類方法統(tǒng)稱黎茲 伽遼金方法．最常用的數(shù)值方法是有限差分方法，其歷史可追溯到歐拉，它以差商代微商，將微分方程化為差分方程．它適用于各種類型方程．關(guān)鍵問(wèn)題是收斂性及穩(wěn)定性問(wèn)題．1928年，庫(kù)朗、弗瑞德里克斯及盧伊征明三大典型方程的典型差分格式的收斂性定理，為該方法的應(yīng)用打下基礎(chǔ)，第二次世界大戰(zhàn)之后，由于計(jì)算機(jī)的運(yùn)用，差分方法做為有效的數(shù)值方法得到有效的發(fā)展．1948年馮 諾伊曼對(duì)于無(wú)粘性流體的非線性雙曲型方程，為避開(kāi)激波引出的間斷性，引進(jìn)人工粘性項(xiàng)，為此設(shè)計(jì)差分方法是現(xiàn)代流體力學(xué)數(shù)值計(jì)算主要方法．在論文中他引進(jìn)穩(wěn)定性這個(gè)十分重要的概念，并給出穩(wěn)定性的必要條件．1956年拉克斯(P．D．Lax，1926 )及里希特邁爾(R．D． Richtmyer，1910 )建立了一般差分格式的收斂性及穩(wěn)定性等價(jià)的定理，它對(duì)實(shí)際計(jì)算中誤差積累問(wèn)題有著重要意義．在戰(zhàn)后的數(shù)值方法中，有限元方法是另一個(gè)最常用的方法．它可以看成是變分方法及差分方法有機(jī)的結(jié)合，其思想可追溯到庫(kù)朗1943年的論文．1956年起一些工程人員在處理結(jié)構(gòu)工程問(wèn)題時(shí)又獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，60年代開(kāi)始引進(jìn)連續(xù)體的單元剖分，逐步明確有限元法是變分原理加剖分逼近的思想并建立數(shù)值分析的理論基礎(chǔ)．
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發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:25:00代數(shù)學(xué)公元820年，花拉子米寫(xiě)了一本《代數(shù)學(xué)》．它的阿拉伯文書(shū)名是《ilm al-jabr wa lmuqabalah》．比較流行的一種說(shuō)法認(rèn)為現(xiàn)在西文中代數(shù)學(xué)一詞algebra由此書(shū)名中的al－jabr脫胎而來(lái)．a(chǎn)l－jabr原意是 還原 ，根據(jù)上下文的意思，是指把負(fù)項(xiàng)移到方程另一端變成正項(xiàng)，方程才能平衡．muqabalah意即 化簡(jiǎn) 或 對(duì)消 ，是指方程兩端可以消去相同的項(xiàng)或合并同類項(xiàng)．書(shū)名直譯應(yīng)為《還原與對(duì)消的科學(xué)》．a(chǎn)l－jabr譯成拉丁文是algebra，而muqabalah被省略了，algebra則逐漸成為代數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)的名稱．這一名稱的起源完全符合代數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)．代數(shù)的基礎(chǔ)就是脫離具體數(shù)字以一般的形式來(lái)考慮算術(shù)運(yùn)算，它的課題首先是提出解方程的變形規(guī)則．花拉子米正是以某種變形規(guī)則的名稱來(lái)為自己的書(shū)命名，從而體現(xiàn)了代數(shù)學(xué)的真髓．《代數(shù)學(xué)》用十分簡(jiǎn)單的例題講述了解方程的一般原理．它的條理清楚、通俗易懂．正象花拉子米在序言中所說(shuō)： 在這本小小的著作里，我所選取的材料是數(shù)學(xué)中最容易和最有用途的．是人們?cè)谔幚硐铝惺挛镏薪?jīng)常需要的：在繼承遺產(chǎn)、分配財(cái)產(chǎn)、審理案件、商品交易，以及丈量土地、挖掘溝渠等各種場(chǎng)合中， 《代數(shù)學(xué)》由三部分組成：第一部分講述現(xiàn)代意義下的初等代數(shù)，第二部分論及各種實(shí)用算術(shù)問(wèn)題，最后一部分(也是最大的一部分)列舉了大量的關(guān)于繼承遺產(chǎn)的各種問(wèn)題．在第一部分里，花拉子米系統(tǒng)地論述了六種類型的一次和二次方程的解法．這些方程由下列三種量構(gòu)成：根、平方、數(shù)．根相當(dāng)于現(xiàn)在的未知數(shù)x，平方就是x2，數(shù)是常數(shù)項(xiàng)．《代數(shù)學(xué)》完全用文字?jǐn)⑹觯瑳](méi)有出現(xiàn)任何字母和縮寫(xiě)符號(hào)．為了表達(dá)方便起見(jiàn)，我們同時(shí)用現(xiàn)代的符號(hào)來(lái)表示這六種方程：1．平方等于根 ax2=bx2．平方等于數(shù) ax2＝c3．根等于數(shù) ax=c4．平方和根等于數(shù) ax2＋bx=c5．平方和數(shù)等于根 ax2＋c＝bx6．根和數(shù)等于平方 bx＋c＝ax2《代數(shù)學(xué)》的前六章，依次討論了上述六種類型方程的解法．例如，第四章有這樣一個(gè)問(wèn)題： 一個(gè)平方數(shù)及其根的十倍等于三十九 ．此問(wèn)題即方程x2＋10x＝39．花拉子米把求解過(guò)程敘述為： 取根數(shù)目之半，在這里就是五，然后將它自乘得二十五，同三十九相加得六十四，開(kāi)平方得八，再減去根數(shù)的一半，即五，余三．這就是根． 用現(xiàn)代的符號(hào)表示這一過(guò)程，即對(duì)于一般方程x2＋px＝q，上述結(jié)果相當(dāng)于給出求根公式在第五章，花拉子米求出了方程x2+21＝10x的兩個(gè)正根，相當(dāng)于的結(jié)果小于自由項(xiàng)時(shí)，開(kāi)平方是不可能的，此時(shí)方程無(wú)根．這相當(dāng)于指出我們現(xiàn)在稱之為判別式的必須非負(fù)．以上六種類型包括了具有正根的一次、二次方程的所有可能情形．作者的講解是如此地詳盡和系統(tǒng)，使讀者很容易掌握其解法．在這種意義上，花拉子米后來(lái)被冠以 代數(shù)學(xué)之父 的稱號(hào)．從第七章開(kāi)始，花拉子米轉(zhuǎn)向方程的根的幾何證明．例如，對(duì)于方程x2＋10x＝39，花拉子米給出了兩種不同的幾何證明．第一種證法是在邊長(zhǎng)為x的正方形的四個(gè)邊上向外作邊長(zhǎng)為x和形，然后把圖形補(bǔ)充為邊長(zhǎng)為(x＋5)的大正方形(圖6．3)．在兩種方法中，花拉子米都利用已知方程x2＋10x＝39求出大正方形的面積為64，然后開(kāi)方，再求出x來(lái)．花拉子米的幾何證明明顯地受希臘幾何學(xué)的影響，許多證明都可以在歐幾里得《幾何原本》的第Ⅱ篇中找到原型．花拉子米之后，埃及學(xué)者艾布卡米爾(Abū Kāmil，約850 約930)首先繼承了他的代數(shù)學(xué)并使之發(fā)揚(yáng)光大．關(guān)于艾布卡米爾的生平，現(xiàn)在知道得很少．據(jù)有關(guān)傳記材料記載，艾布卡米爾是伊斯蘭文化全盛時(shí)期(9世紀(jì)中至11世紀(jì))著名的數(shù)學(xué)家．他在算術(shù)、代數(shù)和實(shí)用幾何方面都有很大貢獻(xiàn)．艾布卡米爾的一些數(shù)學(xué)手稿和譯文已經(jīng)保存下來(lái)，其中最重要的一部論著是大約寫(xiě)于公元900年的《代數(shù)書(shū)》(Kitab fi al-jabr wa l－muqabala)．《代數(shù)書(shū)》問(wèn)世后，在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)被廣泛利用，在傳入西方各國(guó)之后產(chǎn)生很大影響，因此在數(shù)學(xué)史界被認(rèn)為是艾布卡米爾碩果僅存的著作．《代數(shù)書(shū)》主要討論二次方程．艾布卡米爾繼承了花拉子米關(guān)于二次方程的理論，并使之得到進(jìn)一步的發(fā)展．書(shū)中有大量題目出自花拉子米的《代數(shù)學(xué)》．此外，艾布卡米爾還用相當(dāng)大的篇幅研究那些不同類型的方程并給出多種解法．花拉子米的《代數(shù)學(xué)》中列舉了40個(gè)問(wèn)題，而艾布卡米爾的《代數(shù)書(shū)》中共有69個(gè)問(wèn)題．艾布卡米爾是第一個(gè)隨意使用未知數(shù)的高次冪的伊斯蘭數(shù)學(xué)家．在他的著作中，出現(xiàn)了直至x8的各次方冪(x7除外)．他稱x3為 立方 ，稱x4為 平方平方 ，稱x5為 平方平方，根 ，x6 立方立方 ，x8 平方平方平方平方 ．事實(shí)上，艾布卡米爾對(duì)這些方冪所采用的名稱是按指數(shù)相加的原則施行的．在《代數(shù)書(shū)》中，艾布卡米爾用大量篇幅闡述了代數(shù)運(yùn)算法則．包括單項(xiàng)式、二項(xiàng)式及其它各種形式的代數(shù)運(yùn)算．他還提出了求兩個(gè)二次根式的和與差的一般運(yùn)算法則：有趣的是，這些公式又多次出現(xiàn)在后世數(shù)學(xué)家的著作中．例如，在11世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家凱拉吉，印度12世紀(jì)數(shù)學(xué)家婆什迦羅(Bhaskara Ⅱ，1114 1185)，以及意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契(L．Fibonacci 約1170 約1240以后)的書(shū)中都出現(xiàn)了完全一樣的公式．艾布卡米爾不僅專門(mén)討論了二次根式的運(yùn)算法則，而且把這些結(jié)果運(yùn)用到二次方程的理論中去．他所列舉的方程，不僅根可以是無(wú)理數(shù)，而且方程的系數(shù)也可以是二次根式．他這樣毫無(wú)顧忌地使用無(wú)理數(shù)，在花拉子米之后是絕無(wú)僅有的．正因?yàn)槌霈F(xiàn)了無(wú)理數(shù)系數(shù)，而使解題過(guò)程十分復(fù)雜，艾布卡米爾也不得不放棄幾何證明．《代數(shù)書(shū)》中，出現(xiàn)了許多十分高超的解題技巧和復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程．艾布卡米爾的代數(shù)著作在兩個(gè)方面比花拉子米的《代數(shù)學(xué)》有明顯的進(jìn)步．一方面，理論水平有所提高．如前所述，艾布卡米爾不僅對(duì)各類方程的解法都指出其任意性，而且還十分注意用代數(shù)恒等式來(lái)化簡(jiǎn)方程，他還特別指出了代數(shù)恒等式的普遍意義．另一方面，艾布卡米爾的代數(shù)學(xué)更具有一般性．他引進(jìn)了大量的繁瑣的代數(shù)運(yùn)算(也用文字?jǐn)⑹?，在具無(wú)理數(shù)系數(shù)的方程中，已放棄了幾何解法，這無(wú)疑是一大進(jìn)步．艾布卡米爾的《代數(shù)書(shū)》問(wèn)世后產(chǎn)生了重要的影響．傳入歐洲后對(duì)宣傳花拉子米的代數(shù)學(xué)起到很大作用．它的部分內(nèi)容還被斐波那契收入其《實(shí)用幾何》(Practica geometriae 1220)中，這是一部專門(mén)討論代數(shù)在幾何中的應(yīng)用的著作．繼花拉子米、艾布卡米爾之后，另一個(gè)對(duì)代數(shù)學(xué)有重要貢獻(xiàn)的是11世紀(jì)巴格達(dá)的學(xué)者凱拉吉(al－Karajī卒于1019 1029年間)．凱拉吉以兩部數(shù)學(xué)著作聞名于世．一本是《算術(shù)全書(shū)》(hisāb al－jummal)，其中有關(guān)代數(shù)學(xué)的章節(jié)可以認(rèn)為是他寫(xiě)于1010年的內(nèi)容極其豐富的代數(shù)著作的序篇．這部代數(shù)書(shū)的書(shū)名是．《發(fā)赫里》(ал-Фахри，al-Fakhr )．根據(jù)凱拉吉的自述，他在寫(xiě)這本書(shū)的過(guò)程中，忍受著苛政與暴力的干預(yù)，久久未能完成．后來(lái)遇到一位有遠(yuǎn)見(jiàn)的執(zhí)政者 發(fā)赫里(Fakhr al-Mulk)，他是學(xué)術(shù)的庇護(hù)者．在他的支持下凱拉吉才寫(xiě)完了這本書(shū)．為了紀(jì)念這位恩主，就以他的名字來(lái)命名這本書(shū)．《發(fā)赫里》包括卷頭語(yǔ)和兩大部分．在卷頭語(yǔ)中，凱拉吉闡明了借助于已知量求未知量是代數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的宗旨．并指出，具有一般性的代數(shù)運(yùn)算法則是求未知量的有力工具．這就進(jìn)一步明確了解方程是代數(shù)學(xué)的基本課題．11世紀(jì)，阿拉伯學(xué)者已經(jīng)熟悉了丟番圖的《算術(shù)》書(shū)．凱拉吉在《發(fā)赫里》中大量地引用《算術(shù)》書(shū)的內(nèi)容，他不僅把先輩們關(guān)于二次方程的理論網(wǎng)羅殆盡，而且無(wú)論在理論還是應(yīng)用方面都出現(xiàn)了一系列新內(nèi)容．他引進(jìn)的代數(shù)運(yùn)算比艾布卡米爾的更豐富、更系統(tǒng)，他所選用的習(xí)題比花拉子米甚至丟番圖的更多樣化．例如，凱拉吉給出了下面關(guān)于三次根式運(yùn)算的關(guān)系式：特別引人注意的是，凱拉吉系統(tǒng)地研究了含有三項(xiàng)式的由未知數(shù)的任意次冪及其平方所組成的方程，如ax2n+bxn=c，ax2n+c=bxn，bxn+c=ax2n，ax2n+m=bxn+m+cxn．其中a，b，c都是正數(shù)．這類方程原則上都能化為二次方程，卡拉吉分別以4次、6次和7次方程為例說(shuō)明求xn的方法．當(dāng)然，零解他沒(méi)有考慮在內(nèi)．為了求出上述各方程的根，凱拉吉還給出了開(kāi)任意n次方根的方法．此外，凱拉吉還應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明了下列求和公式在凱拉吉的著作中，可以發(fā)現(xiàn)大量的來(lái)源于印度和希臘的材料，也有相當(dāng)多的內(nèi)容體現(xiàn)了伊斯蘭各民族古老的文化傳統(tǒng)．總之，《發(fā)赫里》一書(shū)由三種文化匯合而成，我們還很難估計(jì)出各種文化所占的比例．作為方程學(xué)說(shuō)的代數(shù)學(xué)，它的發(fā)展在波斯數(shù)學(xué)家?jiàn)W馬海亞姆的著作中達(dá)到了新的高度．他在自己的代數(shù)著作中，明確地把代數(shù)學(xué)定義為解方程的科學(xué)： 代數(shù)學(xué)是一門(mén)有技巧的科學(xué)，它的研究對(duì)象是純粹的數(shù)(正有理數(shù))和可度量的量(指幾何上的各種量：線、面、體等)．雖然這些數(shù)和量是未知的，但可以通過(guò)已知的 東西 來(lái)確定它們．精通這門(mén)科學(xué)在于掌握確定算術(shù)的和幾何的未知量的方法． 奧馬海亞姆的這種定義，直到十九世紀(jì)末都保持著它的意義．在阿拉伯的代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，還有大量的不定方程問(wèn)題．例如，艾布卡米爾就寫(xiě)過(guò)專門(mén)論述線性不定方程整數(shù)解的著作 《算術(shù)技術(shù)珍品》有三種情形：唯一，無(wú)解，多組解．對(duì)每一種情形他都給出了具體的例子．值得注意的是，艾布卡米爾所舉的6個(gè)例子都以中國(guó)古代算書(shū)《張丘建算經(jīng)》中 百雞問(wèn)題 的形式出現(xiàn)．印度9世紀(jì)的數(shù)學(xué)家也曾研究過(guò) 百雞問(wèn)題 ，因此，人們猜測(cè)， 百雞問(wèn)題 是從中國(guó)經(jīng)印度傳入阿拉伯國(guó)家的．《算術(shù)技術(shù)珍品》中第1個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于下列方程組艾布卡米爾求出了這個(gè)方程組的唯一解是x＝19，y=80，z=1．第5題相當(dāng)于方程組正整數(shù)x要在y＝160時(shí)才得到，不符合第一個(gè)方程，因此問(wèn)題無(wú)解．第6題是艾布卡米爾關(guān)于不定方程的一個(gè)最杰出的代表作，相當(dāng)于下列方程組消去v得或者艾布卡米爾構(gòu)造了兩列整數(shù)解．他首先取y＝1，3，5， ；z＝3，6，9， ；u＝2，6，10，由問(wèn)題的實(shí)際背景分析得知以上各未知量應(yīng)滿足y 59，z 54， u 50，由此可得出1443組解．然后，又取y＝2，4，6， ；z=3，6，9， ；u＝4，8，12，并根據(jù)題意有y 58，z 51， u 52，從而又得出1233組解，此方程組總共有2676組解．在凱拉吉的《發(fā)赫里》中，也出現(xiàn)了一些關(guān)于不定方程的問(wèn)題，其大部分取材于丟番圖的《算術(shù)》書(shū)．這些具有東方數(shù)學(xué)傳統(tǒng)特點(diǎn)的題材是很引人入勝的．例如，有一個(gè)題目相當(dāng)于下列方程組它最初出現(xiàn)在丟番圖的《算術(shù)》中，后來(lái)傳到歐洲，在斐波那契的著作中再現(xiàn)．后者對(duì)某些系數(shù)作了一些變動(dòng)．《發(fā)赫里》中，還出現(xiàn)了形如y2＝ax2＋bx＋c的不定方程，凱拉吉對(duì)這種方程進(jìn)行了一般的討論．除了一次，二次的方程外，凱拉吉還討論了高次不定方程．例如，對(duì)方程組他設(shè)y=mx，z＝nx，則由原方程可得m2-n2=a-b，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩數(shù)m，n，使其平方之差等于已知數(shù)a－b．而這個(gè)問(wèn)題他又專門(mén)進(jìn)行了研究．此外，凱拉吉還研究了方程x3+y3＝z2，x2－y2＝z3，x2 y3＝z2，x3＋10x2＝z2的整數(shù)解和x2-y3＝z2，x3＋y2=z3的分?jǐn)?shù)解等等．阿拉伯代數(shù)學(xué)也有很大的局限性．首先，阿拉伯人沒(méi)有引進(jìn)負(fù)數(shù)(艾布瓦法的著作中出現(xiàn)了唯一的例外)．為了避免負(fù)數(shù)，他們對(duì)方程進(jìn)行了細(xì)致的分類．解方程過(guò)程中，放棄了負(fù)根和零根．其次，阿拉伯人沒(méi)有使用字母或縮寫(xiě)符號(hào)，他們的代數(shù)著作完全用文字?jǐn)⑹觯@兩方面都比印度人倒退了一步．
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發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:22:28印度數(shù)學(xué)第一節(jié) 綜述印度是世界上文化發(fā)達(dá)最早的地區(qū)之一．印度的早期歷史分為史前時(shí)期(又稱前哈拉帕?xí)r期，公元前2300年以前)和印度河文明時(shí)期(又稱哈拉帕?xí)r期，公元前2300 公元前1750)．在印度次大陸的大片地域內(nèi)，均大量發(fā)現(xiàn)石器時(shí)代晚期的遺址．這些遺址表明，早在公元前6000至3000年，印度居民過(guò)著狩獵采集生活．從公元前3500年俾路支最早出現(xiàn)居民點(diǎn)到公元前2300年印度河城市文明的興起，大體可以分為半游牧、畜牧業(yè)發(fā)達(dá)和地域性村社三個(gè)階段．公元前2300年左右，前哈拉帕文化結(jié)束，印度河文明開(kāi)始．印度河文明是當(dāng)?shù)鼐用裨谔囟ōh(huán)境中的卓越創(chuàng)造，至今已發(fā)現(xiàn)70多處遺址，最著名的是摩亨卓 達(dá)羅(在信德)和哈拉帕(在旁遮普)．摩亨卓 達(dá)羅的遺址清楚地顯示出城市營(yíng)建的統(tǒng)一規(guī)劃．在建筑遺跡和某些遺物如彩陶、雕塑品、貝殼和各種材料作成的印章上刻有一些古代銘文．這些保存完好的古代銘文顯示了哈拉帕文化的高度發(fā)達(dá)，而從貝殼上刻的算術(shù)線條可以推斷，數(shù)學(xué)知識(shí)的某些積累是哈拉帕文化的成分之一．公元前1750年左右，印度河文明開(kāi)始衰落．印度最古老的歷史文獻(xiàn)是印度 雅利安人的作品《吠陀》．《吠陀》所記載的時(shí)代稱為吠陀時(shí)代．在這個(gè)時(shí)代的前期，印度 雅利安人活動(dòng)在印度西北部，而在其后期，印度 雅利安人進(jìn)入恒河中下游地區(qū)．在其內(nèi)部，出現(xiàn)了婆羅門(mén)、剎帝利、吠舍、首陀羅四個(gè)種姓．不久，部落共同體逐漸過(guò)渡到地區(qū)性共同體，奴隸制國(guó)家開(kāi)始形成．公元前6至前5世紀(jì)，印度東部出現(xiàn)了十六個(gè)國(guó)家．佛教和耆那教開(kāi)始成為占有重要地位的兩大宗教．公元前327年亞歷山大侵入印度，不久即撤退．前325年旃陀羅 笈多推翻難陀王朝，建立了孔雀王朝，幾乎在整個(gè)印度次大陸建立了中央集權(quán)的統(tǒng)治．阿育王是這個(gè)王朝最有作為的皇帝，他大力提倡佛教，并向鄰國(guó)派出傳教使團(tuán)．公元前185年該王朝滅亡，繼之而起的是巽伽王朝．公元前150 公元300年，印度次大陸陷于混亂．北印度的笈多王朝(320 540)開(kāi)始了印度的古典時(shí)期，印度的經(jīng)濟(jì)、文化空前繁榮．在這一時(shí)期產(chǎn)生了很多重要的科學(xué)文獻(xiàn)，出現(xiàn)了一批著名的天文學(xué)著作，其中包括大量的數(shù)學(xué)知識(shí)．6 7世紀(jì)，在印度形成了特殊形式的封建主義，種姓制度得到進(jìn)一步發(fā)展．大量的屬于最低種姓的賤民 不可接觸者 的生活處境十分艱難，這促成了八世紀(jì)阿拉伯人入侵信德地區(qū)后伊斯蘭教的傳播．與伊斯蘭國(guó)家的聯(lián)系對(duì)印度科學(xué)的進(jìn)步有重要意義．7至8世紀(jì)印度學(xué)者的著作已為阿拉伯哈利發(fā)所了解．11世紀(jì)初，伽色尼王國(guó)的馬哈茂德入侵；12世紀(jì)后期，古爾王國(guó)控制了北印度．1206年，古爾王國(guó)駐印度的總督自立為蘇丹，建立奴隸王朝，開(kāi)始了長(zhǎng)達(dá)300多年的德里蘇丹時(shí)期．這一時(shí)期形成了中央集權(quán)的穆斯林政治體系，伊斯蘭文化大量引進(jìn)．在南印度，14世紀(jì)出現(xiàn)了兩個(gè)強(qiáng)國(guó)，穆斯林統(tǒng)治的巴赫馬尼王國(guó)和印度教徒統(tǒng)治的維查耶那加爾王國(guó)．1526年巴伯爾率軍占領(lǐng)德里，建立莫臥兒帝國(guó)．從此，印度分散的教派、分散的村社走上了民族統(tǒng)一的道路，成為當(dāng)時(shí)世界上最富有、最強(qiáng)大的國(guó)家之一．在這樣復(fù)雜的歷史條件下，科學(xué)的發(fā)展在各時(shí)期不同程度地受到政治動(dòng)亂的抑制，但自古以來(lái)數(shù)學(xué)始終是很受重視的科目．相傳，佛祖悉達(dá)多 喬達(dá)摩(即釋迦牟尼，公元前623 前544)幼時(shí)受傳統(tǒng)的婆羅門(mén)教育，用八年時(shí)間專門(mén)學(xué)習(xí)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)．在印度數(shù)學(xué)的發(fā)展始終與天文學(xué)聯(lián)系在一起．?dāng)?shù)學(xué)著作大都是天文學(xué)著作中的某些篇章．最早的數(shù)學(xué)著作《繩法經(jīng)》(S．ulvasūtras)出現(xiàn)在吠陀時(shí)代，它包含在古代婆羅門(mén)教的經(jīng)典中，專講祭祀禮儀，其中包含畢達(dá)哥拉斯定理等數(shù)學(xué)知識(shí)．在以后的大約1000年中，缺少可靠的史料，數(shù)學(xué)的發(fā)展所知甚少．公元500年以后，印度數(shù)學(xué)獲得了較大的發(fā)展，印度數(shù)學(xué)的成就在世界數(shù)學(xué)史上占有重要地位．許多數(shù)學(xué)知識(shí)由印度經(jīng)阿拉伯國(guó)家傳入歐洲，促進(jìn)了歐洲中古時(shí)期數(shù)學(xué)的發(fā)展．由歷史資料提供的情況斷定，希臘和印度兩國(guó)之間科學(xué)知識(shí)有一定的交流，但是每一個(gè)民族都按照自己的風(fēng)格或習(xí)俗發(fā)展科學(xué)．希臘人和印度人發(fā)展數(shù)學(xué)的道路在許多方面都不相同．希臘數(shù)學(xué)遵循著嚴(yán)格的邏輯敘述，所以幾何學(xué)獲得了重大的發(fā)展．印度人則相反，不去求得嚴(yán)格的證明，而主要是發(fā)展實(shí)用的數(shù)學(xué)，因此算術(shù)、代數(shù)和三角具有優(yōu)勢(shì)．在5至16世紀(jì)，印度出現(xiàn)了許多著名的天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家和一批杰出的著作．這些著作都是用印度的宗教和官方語(yǔ)言梵文寫(xiě)的，就象伊斯蘭國(guó)家中的阿拉伯語(yǔ)和中世紀(jì)西歐的拉丁語(yǔ)一樣．印度數(shù)學(xué)著作的最大特點(diǎn)是敘述得過(guò)于簡(jiǎn)練，命題或定理的證明常被省略．運(yùn)算法則的表述也極簡(jiǎn)短，又常常以詩(shī)歌形式出現(xiàn)，再加上濃厚的宗教色彩，致使這些著作更加晦澀難讀．I，476 約550)．他是在印度首先運(yùn)用代數(shù)方法的人．499年，他用 書(shū)》)．這部著作是印度歷數(shù)書(shū)天文學(xué)的一次系統(tǒng)化，并概述了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)．書(shū)中大部分討論天文學(xué)和球面三角學(xué)，也介紹了算術(shù)、代數(shù)和平面三角中的若干法則．他還算出了 的近似值3．1416．瓦拉哈米希拉(Varāha－Mihira)是6世紀(jì)著名學(xué)者．他通曉哲學(xué)、天文學(xué)和數(shù)學(xué)，是《五大歷數(shù)全書(shū)匯編》的作者．此書(shū)是希臘、埃及、羅馬和印度天文學(xué)的一部提要，最重要的一部分是《太陽(yáng)的知識(shí)》．(Sūrya Siddhānta)．其內(nèi)容并不是有關(guān)太陽(yáng)的知識(shí)，而是由太陽(yáng)神傳授的知識(shí)，具有神話色彩．另外還包括四部歷數(shù)書(shū)．這部著作的計(jì)算圖表是以希臘算法和亞歷山大算法為基礎(chǔ)推算的．婆羅摩笈多(Brahmagupta， 598 約665)是7世紀(jì)最著名的天文學(xué)家，在印度中部城市烏賈因工作．628年他寫(xiě)了一部《婆羅摩修正體系》(Brāhmasphutasiddhānta，西方又譯《宇宙的開(kāi)端》)．其中以詩(shī)的形式敘述了印度天文體系，有兩章是講數(shù)學(xué)的，包括等差級(jí)數(shù)，二次方程和各種有關(guān)面積、體積的幾何定理的證明．他大量地把代數(shù)應(yīng)用于天文學(xué)．千余年內(nèi)印度最有成就的數(shù)學(xué)家是婆什迦羅 Ⅱ(Bhāskara，1114 1188)．他作為古代印度最重要的數(shù)學(xué)中心烏賈因天文臺(tái)的領(lǐng)導(dǎo)人，是婆羅摩笈多的嫡系繼承人．他所著《天文系統(tǒng)極致》(Sinddhāntaāsiromani，1150)可以認(rèn)為是印度數(shù)學(xué)的最高成就．《天文系統(tǒng)極致》包括四部分，第一部分名為《麗羅娃提》(Lilāvati)，主要內(nèi)容講算術(shù)． 麗羅娃提 意為美女，對(duì)此有兩種解釋，一種認(rèn)為婆什迦羅Ⅱ以此書(shū)獻(xiàn)給其女兒，另一種則認(rèn)為作者把數(shù)學(xué)本身比喻為美女．第二部分為《種籽計(jì)數(shù)論》，內(nèi)容為代數(shù)學(xué)．其余部分是講述天文學(xué)的．婆什迦羅Ⅱ繼承了婆羅摩笈多和其他前輩的工作，填補(bǔ)了他們的許多缺漏．《麗羅娃提》共有13章．第1章給出幾個(gè)計(jì)算表；第2章講述整數(shù)和分?jǐn)?shù)運(yùn)算，包括計(jì)算平方根和立方根；第3章介紹解算術(shù)問(wèn)題的各種方法(如單設(shè)法等)；第4章討論來(lái)自希臘和中國(guó)的應(yīng)用問(wèn)題；第5章給出一些算術(shù)級(jí)數(shù)的求和法；第6 11章的內(nèi)容是幾何學(xué)，主要是面積和體積的計(jì)算和一些可以化為線性方程的實(shí)際問(wèn)題；第12章講述不定分析；第13章是組合學(xué)的內(nèi)容．《種籽計(jì)數(shù)論》由8章組成，其內(nèi)容是關(guān)于一次和二次代數(shù)方程的理論．他和婆羅摩笈多一樣，也引用了大量的縮寫(xiě)符號(hào)．其第一章敘述正負(fù)數(shù)法則：第2 3章是一次和二次整系數(shù)不定方程的解法；第4章講一元和多元線性方程組；第5章研究二次方程，并給出畢達(dá)哥拉斯定理的兩個(gè)證明；第6章包含一些線性不定方程組的實(shí)例；第7 8章補(bǔ)充了二次不定方程的內(nèi)容．婆什迦羅Ⅱ的《天文系統(tǒng)極致》在印度有很大的影響，他的嫡孫在13世紀(jì)創(chuàng)建了一個(gè)專門(mén)研究此書(shū)的學(xué)派，以后的400多年間有許多數(shù)學(xué)家對(duì)此書(shū)進(jìn)行了注釋．除了以上介紹的幾位最著名的學(xué)者及其著作外，下文將要提到的數(shù)學(xué)家還有阿耶波多Ⅰ的主要繼承人婆什迦羅Ⅰ(Bhāskara Ⅰ，629年在世)；9世紀(jì)在南印度邁索爾工作的馬哈維拉(Mahāvira，約850)；著有《計(jì)算精華》(Ganita－Sāra－sangraha)，內(nèi)容十分豐富；活躍在9 10世紀(jì)的數(shù)學(xué)家有施里德哈勒(Srīdhara)和阿耶波多 Ⅱ(Aryabhata Ⅱ)；14 15世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家有納拉亞訥(Nārāyana，約1356)和尼拉坎塔(Nīlakantna，約1444 1501之后)等等．1881年，在西北印度巴赫沙里附近出土了一部無(wú)名氏著的算術(shù)和代數(shù)手稿，其準(zhǔn)確時(shí)間尚未確定，多數(shù)學(xué)者認(rèn)為是6 8世紀(jì)的作品．我們稱之為《巴赫沙里手稿》．其中論述了不定方程和不盡根逼近等問(wèn)題．
