2016江蘇部隊(duì)文職考試行測(cè)A類試卷首次考語句連貫題（3）-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2016-04-15 14:17:42三、數(shù)量關(guān)系2016江蘇公務(wù)員考試行測(cè)(A類)數(shù)量關(guān)系部分結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，數(shù)字推理穩(wěn)定為5道，數(shù)學(xué)運(yùn)算穩(wěn)定為10道。從考點(diǎn)來看，數(shù)字推理主要考查基本數(shù)列及其變式，解題時(shí)從分析題干整體趨勢(shì)和數(shù)字特征入手，合理運(yùn)用各種解題方法。數(shù)學(xué)運(yùn)算仍以常規(guī)題型為主，包括行程問題、工程問題、容斥問題、幾何問題、日期問題、概率問題等。從考查難度來看，數(shù)字推理難度一般，數(shù)學(xué)運(yùn)算較去年難度有所減小，考生只需掌握基礎(chǔ)知識(shí)和核心公式即可解決。A.0.12 B.0.50 C.0.88 D.0.89
解放軍文職招聘考試希臘后期的數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:18:52希臘后期的數(shù)學(xué)希臘后期的數(shù)學(xué)一般指公元前146年羅馬滅亡希臘以后的數(shù)學(xué)．由此，希臘本土的文化逐漸退居次要地位，科學(xué)中心開始轉(zhuǎn)移到埃及的亞歷山大里亞城，成為新的希臘文化淵藪．由于亞歷山大里亞的學(xué)者繼續(xù)不斷地發(fā)明、創(chuàng)造，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展．以下幾位數(shù)學(xué)家的工作是值得提及的．在希臘后期，雖然對(duì)歐幾里得《幾何原本》沒有作出根本性改革，但也作了很多添補(bǔ)工作．對(duì)此，首先作出貢獻(xiàn)的是海倫．海倫(Heron，約公元60年) 著《關(guān)于測(cè)量?jī)x》(Diopt－ra)一書，其中提出了確定羅馬和亞歷山大之間的時(shí)差問題的一個(gè)較復(fù)雜的方法，并用這種儀器觀測(cè)兩地的月食．海倫的著作主要是由幾何學(xué)、應(yīng)用幾何學(xué)、應(yīng)用機(jī)械學(xué)合編成的一部百科全書性質(zhì)的書籍---《幾何》．在這部著作中，闡述了象測(cè)量?jī)x一類器具的使用方法．他還注釋了歐幾里得的著作以及撰寫有關(guān)面積和體積的書籍，但其名著是《測(cè)量術(shù)》．這部著作分三篇，第一篇是面積的計(jì)算；第二篇是體積的計(jì)算；第三篇是解決面積和體積的有關(guān)比例問題．第一篇是最重要的篇章，其中給出已知三角形邊長(zhǎng)，求三角形面積的公式，即 海倫公式 ．海倫是通過具體的三角形推出此公式的，首先假定三角形的邊長(zhǎng)分別是13，14，15．海倫給出二種方法計(jì)算，其一是利用三角形的高來求面積，其二是不求出高，利用三邊求面積，他按如下步驟計(jì)算．(1)將三邊長(zhǎng)相加 13＋14＋15＝42．(2)取和的一半 42 2=21．(4)求積、開方 21 8 7 6＝7056，此三角形的面積是84．如上步驟，可寫成如下公式：(△表示三角形面積，a、b、c為三邊長(zhǎng)，這就是著名的海倫公式．德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾(M．B．Cantor， 1829---1920)曾指出，上述公式在海倫的原典中有明確記載．但是，根據(jù)阿拉伯文獻(xiàn)記載，阿基米德已經(jīng)知道這個(gè)公式，是海倫利用三角形的內(nèi)切圓征明了此公式．三角學(xué)在這個(gè)時(shí)期有了進(jìn)一步發(fā)展．雖然人們對(duì)這門學(xué)科本身的興趣在衰退，但逐漸成了其他學(xué)科，尤其是天文學(xué)的輔助學(xué)科．三角學(xué)這門科學(xué)是從確定平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系開始的．很可能埃及人早已發(fā)現(xiàn)三角形的不同元素之間具有某種關(guān)聯(lián)，但首先看到有必要建立三角形的邊與角之間的精確關(guān)系的，仍是希臘人．三角學(xué)在西方的最早的奠基人是希臘的希帕霍斯(Hippa－rchus，？---公元前127以后)．他是古希臘的天文學(xué)家．為了天文觀測(cè)的需要，作了一個(gè)和現(xiàn)今三角函數(shù)表相仿的 弦表 ，相當(dāng)于現(xiàn)在圓心角一半的正弦線的兩倍，可惜這份表沒有保存下來．繼承和發(fā)展了希帕霍斯研究成果的，是古代天文學(xué)的集大成者托勒密(ptolemy，約100---約170)．他撰寫一部天文學(xué)著作，原名為《數(shù)學(xué)匯編》，后來譯成阿拉伯文，再轉(zhuǎn)譯成拉丁文，變成Almagest的書名，意為《天文集》，這是一部主張 日心說 的著作．托勒密在天文學(xué)上的研究，試圖建立能精確確定某些關(guān)系的規(guī)則，正是為了改善天文計(jì)算為目的，三角學(xué)才應(yīng)運(yùn)而生．因此，球面三角學(xué)的研究先于平面三角學(xué)．長(zhǎng)度．由于弧的大小是它所對(duì)之角的量度，所以，顯然在圖3．21中弦2 (即在弧上對(duì)著角2 所張弦的長(zhǎng)度)和我們所說的sin 之間存在等價(jià)可以推測(cè)，托勒密的方法相當(dāng)復(fù)雜，不妨簡(jiǎn)述如下．托勒密首先認(rèn)識(shí)到，確定不同角度的弦相當(dāng)于如何設(shè)法解決用圓的直徑長(zhǎng)度表示圓內(nèi)接正多邊形的邊長(zhǎng)問題．值此，他把圓周分成360等份，即360度．直徑則被分成120等份，使用60進(jìn)位分法，實(shí)際上也推廣到分?jǐn)?shù)，并使用了等分、分、秒(partes minutoe，primoe，secundoe)等名稱．這樣就能用直徑上許多等份來表示圓弧上對(duì)任一圓心角所張弦的長(zhǎng)度．這乃是角的弦．托勒密為擴(kuò)充他的表，利用了人們熟知的關(guān)系式．從圖3．22可以看出：(chord2 )2＋ chord(180 -2 )2＝AC2＋AB2＝BC2，即1202．sin2 ＋cos2 ＝1．托勒密進(jìn)一步建立chord( － )的表示式，即 sin( － )公式，托勒密的具體作法可表述為：在直徑AD上作一半圓，B和C是半圓上的兩點(diǎn)，如圖3．23．顯然有AC=chord l，AB＝chord 2，BC＝chord( 1－ 2)，BD=chord(180 － 2)，CD=chord(180 － 1)．從定理表達(dá)式AC BD=BC AD+ AB CD或 BC AD＝AC BD- AB CD亦即[chord( - )] [chord180 ]＝(chord 1) [chord(180 - 2)]－[chord(180 － 1)]，可得出sin(A-B)的形式．為了確立半角公式，托勒密以AB為直徑作一圓，畫出兩相等的弦AD CB＋CD AB＝AC BD，即 AD2＋CD AB＝BD2=AB2-AD2．因此 2AD2＝AB2-AB CD，利用以上公式，托勒密求出有關(guān)角的正弦值，進(jìn)行造表．在第二篇中，托勒密研究了與地球球面有關(guān)的知識(shí)．在第三、四、五篇中，利用本輪解釋天文學(xué)的地心學(xué)說．在第四篇中，提出了測(cè)量學(xué)的三點(diǎn)問題的解：確定這樣的點(diǎn)，使這一點(diǎn)與給定的三個(gè)點(diǎn)中每?jī)牲c(diǎn)的連線所成之角分別為給定的角．在第六篇中，提出了日、月蝕的理論．在第七、八篇中，含有1028個(gè)恒星目錄．其余幾篇是研究行星的．《天文集》一書，在哥白尼(N．Copernicus，1473---1543)之名著《關(guān)于天體的運(yùn)轉(zhuǎn)》(Derevolutionibusorbium Caelestium)成書前，一直是標(biāo)準(zhǔn)的天文學(xué)著作．托勒密曾懷疑過歐幾里得平行公設(shè)，試圖利用《幾何原本》中的其它公理和公設(shè)推出第五公設(shè)，使之去掉歐幾里得的一系列原始假定，但未能成功．幾乎在同一時(shí)期，希臘學(xué)者門納勞斯(Menelaus of Ale－xandria，進(jìn)一步研究了球面三角，并著《球面論》(Sphaeri－ca)，著重討論球面三角形的幾何性質(zhì)．在托勒密逝世之后，希臘的黃金時(shí)代已經(jīng)過去，希臘數(shù)學(xué)開始走下坡路．正是在此時(shí)，有一些才華出眾的學(xué)者，又為希臘數(shù)學(xué)增添了新的光彩，其中最著名的人物乃是亞歷山大里亞的帕普斯(Pappus， 300？-350？)和丟番圖(Diophantus)，他們的工作推動(dòng)了希臘后期的數(shù)學(xué)．帕普斯的主要數(shù)學(xué)著作是《數(shù)學(xué)匯編》(MathaematicalCollections)，此書共8篇，只第一、二篇的一部分保存下來了，其余部分都已失傳．《數(shù)學(xué)匯編》一書統(tǒng)一了希臘早期幾何學(xué)知識(shí)，開始進(jìn)一步探求解決古代三個(gè)著名幾何難題的方法，并做重要補(bǔ)充，其中包括對(duì)立體幾何、高次平面曲線和等周問題的詳盡處理．按照解題所需的曲線性質(zhì)，帕普斯進(jìn)行了分類．他說： 我們已考慮過三種幾何學(xué)問題．即：平面問題，立體問題，線性問題．那些可以用直線和圓周來解決的問題，都稱為平面問題，因?yàn)橛脕斫鉀Q這類問題的線的起源是在平面內(nèi)．那些要靠一條或一條以上的圓錐曲線來解決的問題稱為立體問題，因?yàn)樵谶@些問題的作圖中要用到立體圖形的面，例如圓錐曲線．還有第三類問題：它們叫做線性問題，因?yàn)樵谶@些問題的作圖中必須用到不同于剛才所述的線，它們有著不同的并且更復(fù)雜的起源，或者它們是由于運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的．屬于這類線的是螺旋線或螺線、割圓曲線、蚌線、蔓葉線等等．《數(shù)學(xué)匯編》中含有兩個(gè)重要等周問題．即：(1)在所有周長(zhǎng)相同的圓弓形中，以半圓為最大．(2)在所有表面積相等的立體中，以面數(shù)最多的立體為最大．這部著作中，記載著著名的 帕普斯問題 ，即： 若從任一點(diǎn)作直線與五條具有給定位置的直線在各個(gè)給定角度上相交，并且其中三條直線所圍之長(zhǎng)方體的體積與其余兩條直線和一給定直線所圍之長(zhǎng)方體的體積的比是給定的，那么這一點(diǎn)仍將落在給定位置的曲線上． 笛卡兒曾試圖用分析方法解決這一問題，導(dǎo)致其發(fā)現(xiàn)了解析幾何學(xué)的原理．《數(shù)學(xué)匯編》中的第七篇，含有一著名的定理，現(xiàn)稱古爾丁定理．因?yàn)椋艩柖?P．Guldin，1577---1643)重新獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了這一定理，并給出證明．這個(gè)定理是，如果一平面閉曲線圖形繞曲線之外但在同一平面內(nèi)的一軸轉(zhuǎn)動(dòng)一周，則旋轉(zhuǎn)出來的形體的體積等于曲面面積乘以其重心所轉(zhuǎn)過的圓周．這是有普遍意義的結(jié)果，帕普斯沒有給出定理的證明．第八篇主要研討力學(xué)，他把物體的重心定義為物體內(nèi)(并不一定屬于物體)的一點(diǎn)，若在那一點(diǎn)把它吊起來，就能使它靜止，而不管吊放的位置如何．然后他說明了用何種數(shù)學(xué)方法來確定這個(gè)點(diǎn)．帕普斯還討論了物體沿斜面移動(dòng)的問題．《數(shù)學(xué)匯編》的水平和價(jià)值雖然不能與希臘黃金時(shí)代的名著相比，但是，它是在希臘數(shù)學(xué)衰落時(shí)的著作，從而展現(xiàn)出它的特殊意義．丟番圖的一生，童年生活占1/6，青少年的時(shí)代占1/12，然后獨(dú)身生活占1/7．結(jié)婚后過了5年生了一個(gè)兒子，兒子比父親早4年而亡，只活了父親年齡的一半 ．可由一元一次方程，算出丟番圖的一生年齡．即：可得：x=84．丟番圖撰寫過三部書，其中最著名的是《算術(shù)》(Arithmetica)，另外兩部，有一部失傳，還有一部是《多角數(shù)》(Depolygonis numeris)．根據(jù)《算術(shù)》序文記載，這部著作共有13卷，現(xiàn)存只有卷．此書共解決了189個(gè)問題．主要闡述數(shù)的理論，但大部分是解決代數(shù)問題，這種脫離幾何范疇，研究實(shí)際問題的方法，為希臘數(shù)學(xué)增添了異彩．丟番圖的《算術(shù)》曾被人譽(yù)為 過渡代數(shù) ，尤其是把數(shù)學(xué)從純粹語言敘述，轉(zhuǎn)為借助于簡(jiǎn)單的詞和某些符號(hào)來表達(dá)．例如：△Y= △υ s 表示平方，s2KY＝Kυ os 表示立方，s3KYK＝Kυ кυ os 表示立方的立方，s6丟番圖還給出了負(fù)數(shù)冪s－1，s－2， 的表示法，對(duì)于各數(shù)的和，把各符號(hào)簡(jiǎn)單地排列在一起．如上，他不寫12，而是寫12個(gè)單位．花拉子米也有類似的寫法，丟番圖曾給出減法用的符號(hào)，用來表示．關(guān)于乘法、相等、大于、小于符號(hào)的建立，主要是阿拉伯人的工作．因此，丟番圖的《算術(shù)》基本上還是屬于文字?jǐn)⑹鲭A段．丟番圖的代數(shù)還是原始的，但有了一定的簡(jiǎn)化符號(hào)．丟番圖曾給出求解一次方程的方法，即： 若方程兩邊的未知數(shù)的冪相同，但是系數(shù)不同，應(yīng)該由等量減去等量，直到得出含未知數(shù)的一項(xiàng)等于某個(gè)數(shù)為止．若在方程的一邊或兩邊有減項(xiàng)，那么應(yīng)當(dāng)向兩邊加上這個(gè)項(xiàng)，使兩邊只有加項(xiàng)．然后需要再一次等量減等量，直到得出未知數(shù)等于某個(gè)數(shù)為止． 總之，丟番圖施用了 合并同類項(xiàng) ， 移項(xiàng) ， 兩邊除以未知數(shù)的系數(shù) ．但他盡量避免除法運(yùn)算，而用重復(fù)的減法代替．至于二次方程，他總是算出一個(gè)正根，其解法沒有保存下來，不可詳考．丟番圖在解ax2＋c＝y(tǒng)2，bx＋c＝y(tǒng)2等類型的不定方程時(shí)顯示出了他的卓越才能．每題都用其特殊方法解決，沒有給出一般解法，即使類型相同的題目，解法也不同．正如德國(guó)數(shù)學(xué)史家韓克爾(Hermann Hankel， 1839---1873)說： 近代數(shù)學(xué)家研究了丟番圖100個(gè)題后，去解101個(gè)題，仍然感到困難．丟番圖也曾以具體的實(shí)例研究不定方程，在《算術(shù)》第二卷問題9， 把已知平方數(shù)分成兩個(gè)平方數(shù)的和 ，并把16分成兩個(gè)有理數(shù)的平方足方程：x2＋y2＝z2的有理數(shù)x，y，z．大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬就是看了丟番圖的不定方程，而提出所謂 費(fèi)馬大定理 的．丟番圖也曾解過二個(gè)或二個(gè)以上未知數(shù)的聯(lián)立一次方程組．總之，丟番圖是把新思想引入數(shù)學(xué)的亞歷山大數(shù)學(xué)家的最后代表．他在代數(shù)方面做出了重要貢獻(xiàn)，被譽(yù)為代數(shù)學(xué)的鼻祖，人們用 解方程的形式，刻畫他的年齡 ，這亦是一種后世的深刻懷念吧！前面已經(jīng)提到希臘數(shù)學(xué)衰退，在公元最初幾個(gè)世紀(jì)里一直持續(xù)著．當(dāng)丟番圖去世后，到了公元5世紀(jì)時(shí)，希臘數(shù)學(xué)到達(dá)了衰落的頂點(diǎn)．當(dāng)時(shí)羅馬已經(jīng)成為世界之王，她的領(lǐng)土從印度河一直伸展到直布羅陀海峽，從尼羅河直到不列顛海岸．由于羅馬人不關(guān)心智慧的追求，只需要食物和娛樂(Panem et circenses)，大部分人除此之外皆漠不關(guān)心，因此，羅馬人在頭幾個(gè)世紀(jì)里，他們對(duì)數(shù)學(xué)或科學(xué)的發(fā)展貢獻(xiàn)很小．西撒羅在他的塔斯克來尼恩講話(Tusculanian Oratio ns)中曾為這個(gè)事實(shí)而痛惜．他感嘆道： 希臘人給予幾何學(xué)家以最高的榮譽(yù)；因此他們中間沒有什么東西比數(shù)學(xué)發(fā)展得更光輝燦爛了．但是我們卻把這門藝術(shù)局限于測(cè)量和計(jì)算的應(yīng)用方面．在早期的基督教學(xué)者中，也只有少數(shù)幾個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)或科學(xué)有點(diǎn)興趣．強(qiáng)烈的宗教熱忱，是不鼓勵(lì)他們對(duì)世俗學(xué)問追求和探索的．但是，強(qiáng)盛的羅馬帝國(guó)很快地瓦解，隨著凱撒城在公元455年的陷落，羅馬的統(tǒng)治權(quán)實(shí)際上已告結(jié)束．在此40年前，即公元415年，亞歷山大里亞的著名學(xué)者賽翁之女希帕蒂亞(Hypatia，約370---415)慘遭一群基督教暴徒殺害．她是古希臘最后一位數(shù)學(xué)家，曾協(xié)助父親完成對(duì)歐幾里得《幾何原本》的評(píng)注，還評(píng)注過丟番圖的《算術(shù)》和阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》．她的死標(biāo)志著通常被稱為黑暗時(shí)期的那段荒蕪時(shí)期的開始．希臘古代文明歷史結(jié)束了，在隨后的3個(gè)世紀(jì)左右，歐洲一直處于科學(xué)文化的衰退之中，即黑暗時(shí)期．
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發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:30:08代數(shù)學(xué)1494年，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利(L．Pacioli，1445 1509)的《算術(shù)、幾何、比與比例全書》(Summa de Arithmetica，Geometria，Proportioni et Proportionalita)在威尼斯出版，它是繼斐波那契L．Fibonacci)《算盤書》之后第一部?jī)?nèi)容全面的數(shù)學(xué)書，包括算術(shù)、代數(shù)、幾何與簿記．書中采用了印度 阿拉伯?dāng)?shù)碼和許多數(shù)學(xué)符號(hào)，對(duì)16世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展有重要影響．尤其值得提到的是，書中討論了三次方程．雖然沒有成功，而得出 高于二次的方程不可解 的錯(cuò)誤結(jié)論，但正是書中的討論引導(dǎo)了數(shù)學(xué)家們的進(jìn)一步研究．16世紀(jì)的一些杰出數(shù)學(xué)家并不相信帕喬利的結(jié)論，他們孜孜不倦地探求高于二次的方程解法．實(shí)際上，16世紀(jì)歐洲代數(shù)的發(fā)展，便突出地表現(xiàn)為三次和四次方程解法的發(fā)現(xiàn)．在此期間，意大利的另一位數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾(G．Cardano，1501 1576)也在研究三次方程解法，但未成功．1539年，他懇切要求塔爾塔利亞把解法告訴他，并發(fā)誓保密，塔爾塔利亞滿足了他的要求，不過沒有證明．卡爾達(dá)諾克服了很大困難，找到了證明．他大概覺得沒有保密的必要，便在1545年發(fā)表的《大術(shù)》(Ars(G．Cardano1501 1576)Magna)中公布了三次方程解法．盡管卡爾達(dá)諾寫明了方法的來源，但失信行為還是激怒了塔爾塔利亞，受到他的強(qiáng)烈譴責(zé)．由于《大術(shù)》的影響，三次方程解法被稱為 卡爾達(dá)諾公式 或 卡當(dāng)公式 流傳開來．卡爾達(dá)諾公布的解法可簡(jiǎn)述如下：方程x3＋px=q(p，q為正數(shù))． (1)卡爾達(dá)諾以方程x3＋6x＝20為例說明這一方法，他得到的解是x=過同樣的程序得到他還求出x3＋px＋q＝0和x3＋q＝px(p，q為正數(shù))的公式解，就是說他已經(jīng)能解任何形式的三次方程了．毫無疑問，這里包含了塔爾塔利亞的工作．但需要說明的是，他們像當(dāng)時(shí)其他數(shù)學(xué)家一樣，解方程只求正根，所以解法還是不完善的．管會(huì)受到多大的良心的責(zé)備 ，把這兩個(gè)根相乘，會(huì)得25－(-15)＝40．于是他寫道： 算術(shù)就是這樣神秘地搞下去的，它的目標(biāo)，正如常言所說，是又精致又不中用的． 他既承認(rèn)負(fù)數(shù)有平方根，又懷疑它的合法性，因此稱它為 詭變量 ．但不管怎樣，虛數(shù)畢竟在卡爾達(dá)諾那里誕生了．他還進(jìn)一步指出，方程(指實(shí)系數(shù)方程)的虛根是成對(duì)出現(xiàn)的．三次方程成功地解出之后，卡爾達(dá)諾的學(xué)生費(fèi)拉里(L．Ferrari，1522 1565)受到啟發(fā)，很快解出了四次方程，解法也發(fā)表在卡爾達(dá)諾《大術(shù)》中．下面用現(xiàn)代符號(hào)表出．設(shè)方程為x4＋bx3+cx2+dx+e＝0． (4)移項(xiàng)，得x4＋bx3=-cx2-dx-e，右邊為x的二次三項(xiàng)式，若判別式為0，則可配成x的完全平方．解這個(gè)三次方程，設(shè)它的一個(gè)根為y0，代入(5)，由于兩邊都是x的完全平方形式，取平方根，即得解這兩個(gè)關(guān)于x的二次方程，便可得到(4)的四個(gè)根．顯然，若把(6)的其他根代入(5)，會(huì)得出不同的方程，但結(jié)果是一樣的．在卡爾達(dá)諾之后，韋達(dá)對(duì)三次方程和四次方程解法作了進(jìn)一步改進(jìn)．1591年發(fā)表的《分析術(shù)引論》(Inartemanalyticemisagoge)中，他是這樣解三次方程的：對(duì)于 x3+bx2+cx+d=0，結(jié)果得到簡(jiǎn)約三次方程y3＋py＋q＝0．他和卡爾達(dá)諾一樣，只考慮方程的正根．韋達(dá)不僅研究方程解法，還努力尋找方程的根與系數(shù)的關(guān)系，在《論方程的識(shí)別與修正》(Deaequationumrecog－nitoneetemendatjone，寫于1591年，出版于1615年)中，他提出了四個(gè)定理，后人為了紀(jì)念這位大數(shù)學(xué)家，稱之為韋達(dá)定理．二次方程的韋達(dá)定理是我們經(jīng)常使用的，就對(duì)方程理論作出重要貢獻(xiàn)的另一位數(shù)學(xué)家是笛卡兒．他承認(rèn)方程的負(fù)根，并研究了多項(xiàng)式方程的正根和負(fù)根個(gè)數(shù)的規(guī)律，得到著名的笛卡兒符號(hào)法則：多項(xiàng)式方程f(x)=0的正根個(gè)數(shù)等于方程系數(shù)的變號(hào)次數(shù)，或比此數(shù)少一正偶數(shù)；負(fù)根個(gè)數(shù)等于f(-x)的系數(shù)的變號(hào)次數(shù)，或少于此數(shù)一個(gè)正偶數(shù)．在這里，m重根是看作m個(gè)根的．實(shí)際上，正根個(gè)數(shù)和負(fù)根個(gè)數(shù)都可表成n-2p的形式，其中n是f(x)或f(-x)的系數(shù)變號(hào)次數(shù)，p為0，1，2 ，p的取值要使n－2p非負(fù)．笛卡兒還研究了方程的根的個(gè)數(shù)同方程次數(shù)的關(guān)系，認(rèn)為n次方程至多有n個(gè)根．在討論三次方程時(shí)，他得到如下結(jié)論：若一有理系數(shù)三次方程有一個(gè)有理根，則此方程可表為有理系數(shù)因子的乘積．他的另一項(xiàng)重要成果是現(xiàn)今所謂因子定理：f(x)能為(x-a)整除(a＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)a是f(x)＝0的一個(gè)根，所有這些成就都是在笛卡兒《方法論》(DiscoursdelaM thod，1637)的附錄《幾何》(LaG ometrie)中出現(xiàn)的．除了方程以外，二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)也在代數(shù)史上占有一席之地．實(shí)際上，指數(shù)為正整數(shù)的二項(xiàng)式定理(即(a＋b)n在n為正整數(shù)時(shí)的展開式)曾被不同民族多次獨(dú)立發(fā)現(xiàn)．11世紀(jì)的中國(guó)人賈憲和15世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西(al－Kāshī)各自得到如下形式的三角形這個(gè)三角形特點(diǎn)是，左右兩行的數(shù)都是1，中間每個(gè)數(shù)為肩上兩數(shù)之和．在歐洲，德國(guó)數(shù)學(xué)家阿皮安努斯(P．Apianus，1495 1552)最早給出這個(gè)三角形(1527年)，1544年左右，施蒂費(fèi)爾引入 二項(xiàng)式系數(shù) 這個(gè)名稱，并指出怎樣從(1＋a)n-1來計(jì)算(1＋a)n．1653年，帕斯卡寫成《算術(shù)三角形》(Trait dutrianglearithm tique)一書，從上述三角形出發(fā)，詳細(xì)討論了二項(xiàng)展開式的系數(shù)．該書于1665年出版后，影響很大．由于帕斯卡在數(shù)學(xué)界的威望，人們習(xí)慣地稱此三角形為帕斯卡三角形．實(shí)際上，他的功績(jī)主要是通過組合公式給出了二項(xiàng)式系數(shù)，即(a+b)n牛頓(T．Newton，1643 1727)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到，這個(gè)公式不僅適用于指數(shù)為正整數(shù)的二項(xiàng)展開式，而且當(dāng)指數(shù)為分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，同樣適用．他把二項(xiàng)式定理推廣到分指數(shù)和負(fù)指數(shù)的情形，指出這三種形式的二項(xiàng)展開式第1項(xiàng)都是1，后面各項(xiàng)系數(shù)及字母指數(shù)也具有相同的變化規(guī)律：設(shè)n，m為正整數(shù)，則如果括號(hào)里是a-b，則第k＋1項(xiàng)的符號(hào)由(－1)k決定．它們的區(qū)別只牛頓的這些研究成果，是在17世紀(jì)60年代取得的，但直到1676年6月給萊布尼茨的信中，才首次透露．另外，萊布尼茨和日本的關(guān)孝和(1642 1708)各自獨(dú)立地發(fā)明了行列式，并建立起關(guān)于行列式的初步理論，這也是17世紀(jì)的代數(shù)成果之一．關(guān)孝和是日本傳統(tǒng)數(shù)學(xué) 和算的奠基人．他的貢獻(xiàn)還有：發(fā)現(xiàn)方程正負(fù)根存在的條件及與牛頓迭代法類似的解法，給出圓的徑、弧、矢間關(guān)系的無窮級(jí)數(shù)表達(dá)式，等等．
